Conceito Básicos da Teoria de Grafos

A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices, ou seja, pelo número de vértices de G. Nos exemplos ao lado:

• ordem(G₁) = 4
• ordem(G₂) = 6

Em um grafo simples (a exemplo de G₁) dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a = (v,w) em G. Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso dos vértices Maria e Pedro em G₁. No caso do grafo ser dirigido (a exemplo de G₂), a adjacência  (vizinhança) é especializada em:

Sucessor: um vértice w é sucessor de v se há um arco que parte de v e chega em w. Em G₂, por exemplo, diz-se que Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo.

Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Em G₂, por exemplo, diz-se que Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio.

O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Em G₁, por exemplo:

• grau(Pedro) = 3
• grau(Maria) = 2

No caso do grafo ser dirigido (a exemplo de G₂), a noção de grau  é especializada em:

Grau de emissão: o grau de emissão de um vértice v corresponde ao número de arcos que partem de v. Em G₂, por exemplo:

• grauDeEmissão(Antonio) = 1
• grauDeEmissao(Alfredo) = 2
• grauDeEmissao(Renata) = 0

Grau de recepção: o grau de recepção de um vértice v corresponde ao número de arcos que chegam a v. Em G₂, por exemplo:

• grauDeRecepção(Antonio) = 2
• grauDeRecepção(Alfredo) = 0
• grauDeRecepção(Renata) = 1

Um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos vértices Isadora, Alfredo e Cecília em G₂.

SUMIDOURO

Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso dos vértices Renata e Emerson em G₂.

Um laço é uma aresta ou arco do tipo a = (v,v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Em G₃ há três ocorrências de laços para um grafo não orientado.

G₃:

Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau.

O grafo G₄, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3.

Um grafo é dito ser completo quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por K_n, onde n é a ordem do grafo.

Um grafo K_n possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1.

Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V₁ e V₂, tais que toda aresta de G une um vértice de V₁ a outro de V₂.

Para exemplificar, sejam os conjuntos H = {h | h é um homem} e M = {m | m é um mulher} e o grafo G(V,A) (ver o exemplo G₅) onde:

• V = H U M
• A = {(v,w) | (v Î H e w Î M) ou (v Î M e w Î H) e <v foi namorado(a) de w>}

O grafo G₆ é uma K_3,3, ou seja, um grafo bipartido completo que contém duas partições de 3 vértices cada. Ele é completo pois todos os vértices de uma partição estão ligados a todos os vértices da outra partição.

K_3,3

Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo. G₅ é um exemplo de grafo rotulado.

Um grafo  G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números.

Para exemplificar (ver o grafo G₇), seja G(V,A) onde:

• V = {v | v é uma cidade com aeroporto}
• A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de voo>}

Um grafo G(V,A) é dito ser um multigrafo quando existem múltiplas arestas entre pares de vértices de G. No grafo G₈, por exemplo, há duas arestas entre os vértices A e C e entre os vértices A e B, caracterizando-o como um multigrafo.

Um grafo G_s(V_s, A_s) é dito ser subgrafo de um grafo G(V,A) quando V_s Ì V e A_s Ì A. O grafo G₉, por exemplo, é subgrafo de G₈.

Um hipergrafo H(V,A) é definido pelo par de conjuntos V e A, onde:

V - conjunto não vazio;
A - uma família e partes não vazias de V.

Seja, por exemplo, o grafo H(V,A) dado por:

V = { x₁, x₂, x₃, x₄}
A = { {x₁, x₂, x₄}, {x₂, x₃, x₄}, {x₂, x₃}}

Uma cadeia é uma seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices. O conceito de cadeia vale também para grafos orientados, bastando que se ignore o sentido da orientação dos arcos. A seqüência de vértices (x₆, x₅, x₄, x₁) é um exemplo de cadeia em G₁₁.

Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice.

É dita ser simples se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco).

O comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe.

G₁₁:

Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. A seqüência de vértices (x₁, x₂, x₅, x₆, x₃) é um exemplo de caminho em G₁₁.

Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o vértice inicial é  o mesmo que o vértice final). A seqüência de vértices (x₁, x₂, x₃, x₆, x₅, x₄, x₁) é um exemplo de ciclo elementar em G₁₁.

Um circuito é um caminho simples e fechado. A seqüência de vértices (x₁, x₂, x₅, x₄, x₁) é um exemplo de circuito elementar em G₁₁.

O fecho transitivo direto (ftd) de um vértice v é o conjunto de todos os vértices que podem ser atingidos por algum caminho iniciando em v. O ftd do vértice x₅ do grafo G₁₇, por exemplo, é o conjunto: {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆}. Note que o próprio vértice faz parte do ftd já que ele é alcançável partindo-se dele mesmo.

O fecho transitivo inverso (fti) de um vértice v é o conjunto de todos os vértices a partir dos quais se pode atingir v por algum caminho. O fti do vértice x₅ do grafo G₁₇, por exemplo, é o conjunto: {x₁, x₂, x₄, x₅, x₇}. Note que o próprio vértice faz parte do fti já que dele se pode alncançar ele mesmo.

Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G.

Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia.

Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices e maximais em relação à inclusão. Cada um destes subgrafos conexos é disto ser uma componente conexa de G.

No caso de grafos orientados, um grafo é dito ser fortemente conexo (f-conexo) se todo par de vértices está ligado por pelo menos um caminho em cada sentido, ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de qualquer outro vértice do grafo.

Um grafo G(V,A) que náo é fortemente conexo é formado por pelo menos dois subgrafos fortemente conexos, disjuntos em relação aos vértices e maximais em relação à inclusão. Cada um destes subgrafos é disto ser uma componente fortemente conexa de G, a exemplo dos subgrafos identificados por S₁, S₂ e S₃ em G₁₇.

Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) provoca um redução na conexidade do grafo. Os vértices x₂ em G₁₃ e G₁₄ são exemplos de vértices de corte.

Uma aresta é dita ser um a ponte se sua remoção provoca um redução na conexidade do grafo.
As arestas (x₁, x₂) em G₁₃ e G₁₄ são exemplos de pontes.

Uma base de um grafo G(V,A) é um subconjunto B Ì V, tal que:

• dois vértices quaisquer de B não são ligados por nenhum caminho;
• todo vértice não pertencente a B pode ser atingido por um caminho partindo de B.

Uma anti-base de um grafo G(V,A) é um subconjunto A Ì V, tal que:

• dois vértices quaisquer de A não são ligados por nenhum caminho;
• de todo vértice não pertencente a A pode ser atingir A por um caminho.

Se a base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então esta base é a raiz de G.

Se a anti-base de um grafo G(V,A) é um conjunto unitário, então esta anti-base é a anti-raiz de G.

Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos.

Seja G(V,A) um grafo com ordem n > 2; as propriedades seguintes são equivalentes para caracterizar G como uma árvore:

1. G é conexo e sem ciclos;
2. G é sem ciclos e tem n-1 arestas;
3. G é conexo e tem n-1 arestas;
4. G é sem ciclos e por adição de uma aresta se cria um ciclo e somente um;
5. G é conexo, mas deixa de sê-lo se uma aresta é suprimida (todas as arestas são pontes);
6. todo par de vértices de G é unido por uma e somente uma cadeia simples.

Uma arborescência é uma árvore que possui uma raiz. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados.

Uma floresta é um grafo cujas componentes conexas são árvores.

Um grafo G(V,A) é dito ser planar quando existe alguma forma de se dispor seus vértices em um plano de tal modo que nenhum par de arestas se cruze.

Ao lado aparecem três representações gráficas distintas para uma K₄ (grafo completo de ordem 4). Apesar de haver um cruzamento de arestas na primeira das representações gráficas, a K₄ é um grafo planar pois admite pelo menos uma representação num plano sem que haja cruzamento de arestas (duas possíveis representações aparecem nas figuras ao lado).

K₄:

Já uma K₅  e uma K_3,3 são exemplos de grafos não planares. Estes dois grafos não admitem representações planares.

Seja G(V,A) um grafo e C  um conjunto de cores. Uma coloração de G é uma atribuição de alguma cor de C para cada vértice de V, de tal modo que a dois vértices adjacentes sejam atribuídas cores diferentes.
Assim sendo, uma coloração de G é uma função f: V ® C tal que para cada par de vértices v,w em V, tem se (v,w) Î A então necessariamente f(v) ¹ f(w).

Uma k-coloração de G é uma coloração que utiliza um total de k cores. O exemplo ao lado mostra um 4-coloração para o grafo.

Denomina-se número cromático X(G) de um grafo G ao menor número de cores k, para o qual existe uma k-coloração de G. O exemplo ao lado mostra uma 3-coloração para o grafo, que é o número cromático deste grafo.

Sejam dois grafos G₁(V₁,A₁) e G₂(V₂,A₂). Um isomorfismo de G₁ sobre G₂ é um mapeamento bijetivo f: V₁ ® V₂ tal que {x,y} Î A₁ se e somente se {f(x),f(y)}Î A₂, para todo x,y Î V₁.

Os grafos ao lado são isomorfos pois há a função { (a®2), (b®1), (c®3), (d®4), (e®6), (f®5) } que satisfaz a condição descrita acima.

Seja G(V,A) um grafo não orientado. Diz-se que S Ì V é um subconjunto internamente estável se dois vértices quaisquer de S nunca são adjacentes entre si. Para o grafo ao lado, são exemplos de SCIE os conjuntos:
{ 2, 3}, {1, 4} e {2, 3, 4}

Agora, se dada um SCIE S não existe um outro SCIE S' tal que S' É S, então S é dito ser um SCIE maximal. Para o grafo ao lado, são exemplos de SCIE maximais os conjuntos:
{ 2, 3, 4}, {1, 6} e {4, 5}

Seja G(V,A) um grafo orientado. Diz-se que T Ì V é um subconjunto externamente estável se todo vértice não pertencente a T tiver pelo menos um vértice de T como sucessor.

Agora, se dada um SCEE S não existe um outro SCEE S' tal que S' Ì S, então S é dito ser um SCEE minimal. Para o grafo ao lado, são exemplos de SCEE minimais os conjuntos:
{ x₂, x₄, x₆} e {x₁, x₅, x₃}

Este conceito também pode ser aplicado a grafos não orientados, bastando que consideremos que todo vértice exterior a T deva ter como adjacente pelo menos um vértice de T.