Exercícios sobre campos conservativos e solenoidais

1) Verifique se são conservativos e/ou solenoidais:

a) S( x , y , z ) = [ a , b , c ], (com a, b, c constantes)

b) T( x , y , z ) = - [ x , y , z ]

c) U = a [ x , y , z ] / (x² + y² + z²) ^n/2 (com a uma constante e n inteiro)

d) V = [ x²- yz , y²- xz , z²- xy ]

e) W = [ y + z , x + z , x + y ]

Resp.: Todos são irrotacionais. S e W são solenoidais

2) Determine a função potencial de cada campo irrotacional anterior.

Resp.: a) P_S = ax + by + cz + d

b) P_T = -(x² + y² + z²)/2 + C

c) P_U =[a /(2-n)] (x² + y² + z²) / (x² + y² + z²) ^n/2 + C

d) P_V = (x³+ y³+ z³)/3 - xyz + C

e) P_W = xy + yz + xz + C

3) Apresente superfícies equipotenciais (onde o potencial é constante) dos campos irrotacionais.

Resp.: a) Planos

b) Esferas centradas na origem

c) Esferas centradas na origem

d) x³+ y³+ z³ = C + 3xyz, para qualquer C

e) xy + yz + xz = C, para qualquer C

4) Calcule ò _C V.dS sendo C uma curva que liga o ponto A( 3 , 0 , 0 ) ao ponto B( 0 , 4 , 0 ).

Resp.: 37/3

5) Calcule ò_g W.dS sendo g uma curva que liga o ponto C( 1 , 2 , 0 ) ao ponto D( 0 , 0 , 5 ).

Resp.: -2

6) Verificar se são conservativos. Caso afirmativo, achar o potencial correspondente

a) v₁( x , y , z ) = [ e^y+2z , xe^y+2z , 2xe^y+2z ]

b) v₂( x , y , z ) = [ e^xsen y +2y , e^xcos y + 2x - 2y, 0 ]

c) v₃( x , y , z ) = [ xy² , yz², zx² ]

d) v₄( x , y , z ) = [ 4x²ysen 2x + 8xysen²x , 4x²sen²x – zsen y, cos y ]

Resp.: P₁ = xe ^y+2z + C

P₂ = e ^xsen y + 2xy - y² + C

P₄ = 4x²y sen² x + z cos y + C

7) Calcule ò _r v_k.dS sendo r a reta que liga o ponto P ( 0 , 1 , 1 ) ao ponto Q( 2 , 0 , 0 ).

(v₁, v₂, v₃ e v₄ foram definidos na questão anterior)

Resp.: R₁ = 2

R₂ = 1 - sen 1

R₃ = -1/4

R₄ = - cos 1

8) Calcular o fluxo de W (questão 1) através da parte da superfície cilíndrica circular no primeiro octante, tangente aos planos coordenados XoY e YoZ, entre y = 0 e y = dobro do raio.

Resp.: 0

9) Refazer as integrais dos exercícios e provas anteriores.

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