Cônicas

   
Circunferência

Equação padrão

    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

    Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação padrão da da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Equação reduzida

  Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0) ), teremos :  x2 + y2 = r2 .

Equação geral

   Desenvolvendo a equação padrão, obtemos a equação geral da circunferência:

    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

   A equação padrão da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Elipse

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

   A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base, formando um ângulo menor que o formado pela geratriz.

Elementos

    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

Relação fundamental

    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

   Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
A figura obtida é uma hipérbole.

Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

Excentricidade

        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Como c > a, temos e > 1.

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

    Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

    Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole eqüilátera

    Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

    Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

    Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Equação

    Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Parábola

    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto com um plano paralelo à geratriz oposta:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

                Então, temos que:

                Assim, sempre temos .

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

    Como a reta d tem equação   e na parábola temos:

        obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:
y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
   x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
 x2= - 2py