Álgebra Linear

1. Preliminares 

1.1.Anel: áC , + , . ñ é um conjunto C não vazio, munido de duas operações ( + , . ) binárias (soma e produto) entre seus elementos, satisfazendo os seguintes axiomas:

 

C1: Fechamento da soma         Þ   a + b Î C  , " a, b  em  C

C2: Fechamento do produto Þ   a .  b Î C  , " a, b  em  C

 

S1: Associatividade da soma    Þ   (a + b) + c = a + (b + c) , " a, b, c  em  C

S2: Elemento neutro da soma   Þ   $ z em  C tq. z + a = a + z  = a , " a  em  C

S3: Comutatividade da soma   Þ   a + b = b + a , " a, b  em  C

S4: Elemento inverso da soma        Þ   $ sa em  C tq. sa + a = a + sa  = z , " a  em  C

 

D1: Distributividade da soma         Þ   a .(b + c) = a .b + a .c , " a, b, c  em  C

 

P1: Associatividade do produto       Þ   (a . b) . c = a . (b . c) , " a, b, c  em  C

 

1.2.Exemplos: Z     = Conjunto dos números inteiros,

Q    = Conjunto dos números racionais,

R    = Conjunto dos números reais,

C    = Conjunto dos números complexos,

M   = Conjunto das matrizes com valores em Z , Q , R ou C ,

P     = Conjunto dos polinômios com valores em Z , Q , R ou C ,

F     = Conjunto das funções com valores em Z , Q , R ou C ,

S     = Conjunto das seqüências com valores em Z , Q , R ou C ,

1.3. Anel com Identidade:

P2: Elemento neutro do produto      Þ   $ u em  C tq. u . a = a . u  = a , " a  em  C

 

1.4. Anel Comutativo:

P3: : Comutatividade  do produto   Þ   a . b = b . a , " a, b  em  C

Obs.: M  deixa de ser um exemplo.

 

1.5. Corpo: é um Anel comutativo com identidade  e com

P4: : Elemento inverso  do produto   Þ   $ ia em  C tq. ia . a = a . ia  = u , " a  em  C

Obs.: Z e P  deixam de ser  exemplos

 

2. Espaço Vetorial: 

2.1. Definição:  áV, + , . , C ñ é um conjunto V não vazio, munido de duas operações binárias ( + , . ) (soma e produto por escalar do corpo C), satisfazendo os seguintes axiomas:

 

V1: Fechamento da soma         Þ   v + w Î V  , " v, w  em  V

V2: Fechamento do Produto Þ   m .  v Î V  , " m  em  C, " v  em  V

 

S1: Associatividade da soma   

S2: Elemento neutro da soma            

S3: Comutatividade da soma             

S4: Elemento inverso da soma

M1: (m.n).v = m.(n.v)

M2: u.v = v                                           

D1: m.(v+w) = m.v + m.w                   

D2: (m+n).v = m.v + n.v

 

2.2. Exemplos:  Q sobre o  corpo Q 

R , C , Rn , Cn , P , M , F ou S sobre os  corpos Q , R ou C

E = Soluções de equações diferenciais homogêneas com dados nulos.

 

2.3. Espaço Vetorial Normado: é um espaço vetorial V munido de uma

norma =  ||   || : V ® [0 , ¥) tal que:

||  v || = 0 Û v = 0

||  m.v || = |m|. || v ||

||  v + w || £ || v || +|| w ||

 

Exemplos:

|| x ||

= | x |  em Q ou  R  

 

|| (a,b) ||

 

 

=         em  R2 »  C  
= | a | + | b |  
= máx { | a | , | b | }  

 

Idem

em  Rm , M ,  S ou  P    

 

|| f || 2

|| f || p

|| f || ¥

= (ò |f(x)|².dx)1/2  em  P ou F

= (ò |f(x)|p.dx)1/p  

= max { |f(x)| }    

 

|| c || p

= (S |ci|p)1/p em  S

 

2.4. Espaço Vetorial com

Produto Interno =  á , ñ : V x V ® C tal que:

 

á v, w ñ = 

á v, v ñ  ³

á v, v ñ =

á w, v ñ
0
0 Û    v

 

=   0

 

á m.v + w , x ñ = m. á v, x ñ + á w, x ñ

 

Observ.: Num espaço vetorial normado Þ

| á v, w ñ | £ || v || . || w ||

    Um produto interno induz uma norma Þ

|| v || = ( á v, v ñ )1/2

 

Exemplos:

á v, w ñ = v. w   em Q ou  R 

á v, w ñ = v.   em C  
 

 

 

 

á (a,b), (c,d) ñ = a.c + b.d em  R2 »  C

   
 

 

Idem  em  Rm, S ou  P  
 

 

 

á f, g ñ = ò f(x). dx em  P ou F

 

 

Perpendicularismo: Dizemos que u e v são perpendiculares se  á v, w ñ = 0

 

2.5. Conjunto Linearmente Independente: Um conjunto {v1, v2, ... } de um espaço vetorial é dito linearmente independente, se nenhum deles puder ser expresso como combinação linear dos demais.

Equivalentemente: m1.v1 + m2.v2 + ... = 0 Þ m1  = m2  ... = 0

 

Exemplos: Conjuntos Ortogonais = á vm , vn ñ = 0  sempre que m ¹ n

{ i, j, k }, { xk }, { ekx }, { eikx }, { sen (kx) , cos (kx) },
Polinômios de Legengre { Pk(x) } e de Chebyshev { Tk(x) } (Maple - Zip)

 

2.6. Base – dimensão: Um conjunto linearmente independente, cujas combinações lineares geram todo o espaço vetorial, é denominada Base do espaço vetorial.

 

Todas as possíveis bases de um mesmo espaço vetorial devem ter a mesma  quantidade de elementos = Dimensão do espaço vetorial.

 

3. Transformações Lineares

 

3.1. Definição: Uma transformação T: V1 ® V2 é dita linear se

T(m.v + w) = m.T(v) + T(w), " m, v, w.

 

     3.2.Exemplos: Projeção do Espaço num plano

 Derivadas, integrais

 Séries de Fourier

 Multiplicação por matrizes

 Obs.: Toda transformação linear pode ser representada pelo último exemplo.

 

0

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

 

 

.

a

b

c

d

 

 

=

b

2c

3d

0

 pode representar a derivada D  dos polinômios de grau 3 ou menor:

 

D( a + bx + cx² + dx³) = b + 2cx + 3dx²

 

Quando V1 = V2 ,dizemos que T é um Operador linear.

Exemplos: Contração dilatação, rotação, simetrias e cisalhamento no plano

 

3.3. Auto valores – auto vetores

 

Se, para algum escalar m e para algum vetor v, tivermos que T( v ) = m.v dizemos que v é um auto vetor de T com relação ao auto valor m.

 

Exemplos: os vetores do tipo v = [ 2a , 3a] são auto vetores do cisalhamento dado por
T [ x,y ] = [x, x + y/3] com relação ao auto valor 1. 

os vetores do tipo v = [ 0 , b] são auto vetores do mesmo cisalhamento com relação ao auto valor 1/3. 

as funções C.ekt são auto funções da derivada com relação ao auto valor k. 

C.cos(mx) são auto funções da 2ª derivada com relação ao auto valor –m ².

 

4. Aplicação às EDPs Lineares 

Seja, por exemplo, resolver a equação Ft = 4Fxx Û D1(F) = 4.D2(F)

 Auto funções de D1 : F1 = g(x) ekt Û D1( g(x) ekt ) = k.g(x) ekt = k.F1

Auto funções de D2 : F2 = f(t) cos(mx)  Û D2( f(t) cos(mx)  ) = -m².f(t) cos(mx) = -m².F2

Igualando: k.F1 = 4( -m².F2)  Û k.g(x) ekt = -4m².f(t) cos(mx),

obtemos que   g(x) = cos(mx),  que    f(t) = ekt   e que   k = -4m²

    Portanto: F(t,x) = e-4m²tcos(mx) ou seus múltiplos (vale também para senos)

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