PES Pesquisa Operacional

Prof. Milton Procópio de Borba

Originais do Prof. Fernando Deeke Sasse

6. Análise de Sensitividade e Dualidade

6.1 Mudanças nas restrições e preços duais

Voltemos ao problema da fábrica de brinquedos, ou seja

max ,

, ( limites de capacidade de produção de cada departamento)

( limite das peças especiais)

Sabemos da solução do problema original que é ótimo produzir = 48 carros de brinquedo e = 60 trens de brinquedo, resultando num lucro diário de z = $3840. Com esta solução a capacidade do departamento de trens é utilizada completamente. Queremos saber agora se é desejável adquirir recursos adicionais e aumentar a capacidade de produção do departamento de trens.

Vamos supor que a capacidade de produção de trens é aumentada por 10 unidades, para 70. 

Temos então o novo problema

max ,

,

> restart:

> with(simplex):

Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected

> Rest:=[ x1 <= 90, x2 <= 70,5*x1+6*x2 <= 600, x1>=0,x2>=0];

> z:=30*x1+40*x2;

> sol:=maximize(z,Rest);

> assign(sol);

> z;

>

Portanto, com uma capacidade extra de 10 unidades no departamento de trens, é agora ótimo produzir 36 carros, 70 trens, com um lucro diário z = $3880. Portanto, o máximo lucro aumentou em $40. Isso implica que o aumento marginal no lucro para um aumento unitário na capacidade do departamento de trens é $40/10 = $4. Este valor é denominado preço dual da capacidade de produção do departamento. Se o custo marginal do aumento da capacidade neste departamento é menor do que o benefício marginal de $4, então a gerência deveria aumentar a capacidade, pois o benefício líquido é positivo.

Para pequenos aumentos na capacidade disponível do departamento de trens, observamos que o preço dual é $4. Não devemos esperar que este resultado aplique-se independentemente do aumento de capacidade. Vamos examinar aumentos de capacidade em intervalos de 10 unidades e observar o lucro:

Podemos observar que se, por exemplo, a nova capacidade é 110 , a solução ótima é , e z = $4000. Portanto, para um aumento de 50 unidades na capacidade, o lucro máximo aumenta em $4000 - $3840 = $160, implicando que o benefício marginal por unidade é agora $160/50 = $3.20. É fácil explicar tal comportamento observando a solução gráfica, que mostra que para uma capacidade de produção de trens acima de 100, a restrição das partes especiais as torna redundantes. Neste caso é imediato que para manter o preço dual em $4.00, devemos utilizar uma capacidade de produção de trens de no máximo 100 unidades. Vamos apresentar o tratamento a ser utilizado no caso geral, e determinar o intervalo na capacidade de modo a manter o preço dual em $4.00.

Do método manual sabemos que a solução ótima para o problema original é obtida pela relação , onde B = . Vamos estabelecer as possíveis variações na capacidade de produção, alterando e examinando as possíveis variações na capacidade de produção de trens.

> restart;

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> sistema:=[x[1]+x[3]=90,x[2]+x[4]=60+Delta[2],5*x[1]+6*x[2]+x[5]=600];

> A:=genmatrix(sistema,[x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]],b):

> evalm(b);

> for j to 5 do a[j]:=col(A,j) od;

> B:=augment(a[1],a[2],a[3]);

> xB:=evalm(B^(-1)&*b);

> solve({seq(xB[i]>=0,i=1..3)});

Obviamente, a solução é a que otimiza o lucro.

Exercício 6.1  
Determine o intervalo de possível variação da capacidade de fornecimento de peças especiais, assim como o respectivo preço dual.

6.2 Mudanças nos coeficientes da função objetivo

O segundo problema em análise de sensitividade está relacionado com os efeitos das mudanças na solução decorrentes de variações nos coeficientes da função objetivo. Por exemplo, vamos supor que, devido a economias de custo no departamento de carros de brinquedo, o lucro por unidade passa de $30 a $35. Em que isso muda a solução original? Resolvendo o problema novamente verificamos que a solução ótima muda de vértice:

, e z = $4150. Portanto, para este aumento de $5 no lucro unitário , a solução ótima se modifica.Por outro lado, se o aumento em for muito pequeno, digamos, $2, a solução ótima ainda mudará ? De modo mais geral, para qual intervalo de valores (intervalo de optimalidade) a solução ótima permanecerá inalterada ?

Vamos supor que o lucro de cada carro é , onde é a quantidade que mede a variação do lucro por unidade. Portanto, o vetor de preço agora torna-se

= (30 + , 40,0,0,0) .

Esta mudança em afeta os valores de , e portanto os valores de no algoritmo simplex. Para que a solução ótima permaneça inalterada, devemos ter (para que processo termine no mesmo ponto). Vamos resolver este problema no Maple:

> restart:

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> sistema:=[x[1]+x[3]=90,x[2]+x[4]=60,5*x[1]+6*x[2]+x[5]=600];

> A:=genmatrix(sistema,[x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]],b):

> c:=vector(5,[30+theta[1],40,0,0,0]);

> for j to 5 do a[j]:=col(A,j) od;

> B:=augment(a[1],a[2],a[3]);

> xB:=evalm(B^(-1)&*b);

> cB:=[30+theta[1],40,0];

> for j to 5 do

> y[j]:=evalm(B^(-1)&*a[j]);

> z[j]:=evalm(cB&*y[j]);

> od;

> ineg:={seq(c[j]-z[j]<=0,j=1..5)};

> solve(ineg);

Portanto, alterações no lucro por unidade de carros em até 3.33 não alteram a optimalidade do problema.

Exercício 6.2  
Determine o máximo aumento possível no lucro por unidade de trens.