Matrizes

Operando com matrizes estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações com vários números simultaneamente.  

Definição. Uma matriz A, m x n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n... ... \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n}\\ a_{21}&a_{... ...a_{2n}\\ \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n... ... \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}}\right]$  .

    A i-ésima linha de A é

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{i1}&a_{i2}&\ldots&&a_{in}\\ \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccc} a_{i1}&a_{i2}&\ldots&&a_{in}\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{i1}&a_{i2}&\ldots&&a_{in}\\ \end{array}}\right]$  ,

para i = 1,..., m e a j-ésima coluna de A é

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{array}}\right]$ ,

para j = 1,..., n. Usamos também a notação A = (aij)m x n. Dizemos que aij ou [A]ij é o elemento ou a entrada de posição i j da matriz A.         Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que a11, a22,..., ann formam a diagonal (principal) de A.



Exemplo. Considere as seguintes matrizes:

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right]$ ,    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right]$ ,    C = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}}\right]$ ,

D = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccc} 1&3&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} 1&3&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} 1&3&-2 \end{array}}\right]$ ,    E = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} 1\\ 4\\ -3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{r} 1\\ 4\\ -3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} 1\\ 4\\ -3 \end{array}}\right]$  e  F = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} 3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{r} 3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} 3 \end{array}}\right]$ .

As matrizes A e B são 2 x 2. A matriz C é 2 x 3, D é 1 x 3, E é 3 x 1 e F é 1 x 1. De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são
a12 = 2, c23 = - 2, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.



Vamos, agora, introduzir as operações matriciais.  


Definição. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m x n e B = (bij)m x n é definida como sendo a matriz
C = (cij)m x n obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,

cij = aij + bij ,

para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos C = A + B e [A + B]ij = aij + bij.



Exemplo. Considere as matrizes:

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}}\right]$ ,    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -2&\;1&5\\ 0&3&-4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -2&\;1&5\\ 0&3&-4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -2&\;1&5\\ 0&3&-4 \end{array}}\right]$

Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então

C = A + B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccc} 1+(-2)&2+1&-3+5\\ 3+0&4+3&0+(-4) \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} 1+(-2)&2+1&-3+5\\ 3+0&4+3&0+(-4) \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} 1+(-2)&2+1&-3+5\\ 3+0&4+3&0+(-4) \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -1&\;3&2\\ 3&7&-4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -1&\;3&2\\ 3&7&-4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -1&\;3&2\\ 3&7&-4 \end{array}}\right]$


   


Definição. A multiplicação de uma matriz A = (aij)m x n por um escalar (número) $ \alpha$ é definida pela matriz B = (bij)m x n obtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar, ou seja,

bij = $\displaystyle \alpha$  aij ,

para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos B = $ \alpha$A e [$ \alpha$A]ij = $ \alpha$  aij.



Exemplo. O produto da matriz A = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&\;1\\ 0&3\\ 5&-4 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rr} -2&\;1\\ 0&3\\ 5&-4 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&\;1\\ 0&3\\ 5&-4 \end{array}}\right]$ pelo escalar -3 é dado por

-3 A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{cc} (-3)(-2)&(-3)\;1\\ (-3)\;0&(-3)\;3\\ (-3)\;5&(-3)(-4) \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{cc} (-3)(-2)&(-3)\;1\\ (-3)\;0&(-3)\;3\\ (-3)\;5&(-3)(-4) \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{cc} (-3)(-2)&(-3)\;1\\ (-3)\;0&(-3)\;3\\ (-3)\;5&(-3)(-4) \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 6&-3\\ 0&-9\\ -15&12 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 6&-3\\ 0&-9\\ -15&12 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 6&-3\\ 0&-9\\ -15&12 \end{array}}\right]$ .


 


Definição. O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, A = (aij)m x p e B = (bij)p x n é definido pela matriz C = (cij)m x n obtida da seguinte forma:

  
cij = ai1b1j + ai2b2j +...+ aipbpj (1)
  = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkj , (2)

para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos C = AB e [AB]ij = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkj.




A equação (1) está dizendo que o elemento i j do produto é igual a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_... ...dots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mp} \end{array} \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{... ...ots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mp} \end{array} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_... ...dots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mp} \end{array} \end{array}}\right]$$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} b_{11}\\ ... ...array}{c} b_{1n}\\ b_{2n}\\ \vdots \\ b_{pn} \end{array} \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} b_{11}\\ b_{21}\\ \vdot... ...egin{array}{c} b_{1n}\\ b_{2n}\\ \vdots \\ b_{pn} \end{array} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} \begin{array}{c} b_{11}\\ ... ...array}{c} b_{1n}\\ b_{2n}\\ \vdots \\ b_{pn} \end{array} \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} c_{11}&\ldots&c_{1n}\\ \v... ...ox{blue}{white}{$ c_{ij}$} &\vdots\\ c_{m1}&\ldots&c_{mn} \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccc} c_{11}&\ldots&c_{1n}\\ \vdots& \fcolorbox{blue}{white}{$ c_{ij}$} &\vdots\\ c_{m1}&\ldots&c_{mn} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} c_{11}&\ldots&c_{1n}\\ \v... ...ox{blue}{white}{$ c_{ij}$} &\vdots\\ c_{m1}&\ldots&c_{mn} \end{array}}\right]$

  Na equação (2) estamos usando a notação de somatório para escrever a equação (1) de forma compacta.
O símbolo $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$ significa que estamos fazendo uma soma em que o índice k está variando de k = 1 até k = p.




Exemplo. Considere as matrizes:

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&\;2&-3\\ 3&4&0 \end{array}}\right]$ ,    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -2&\;1&\;0\\ 0&3&0\\ 5&-4&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -2&\;1&\;0\\ 0&3&0\\ 5&-4&0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -2&\;1&\;0\\ 0&3&0\\ 5&-4&0 \end{array}}\right]$ .

Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, então

C = AB = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccc} 1\,(-2)+2\cdot 0+(-3)\,5&1\cd... ...\\ 3\,(-2)+4\cdot 0+0\cdot 5&3\cdot 1+4\cdot 3+0\,(-4)&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc} 1\,(-2)+2\cdot 0+(-3)\,5&1\cdot 1+2\cdot 3+(-3)\,(-4)&0\\ 3\,(-2)+4\cdot 0+0\cdot 5&3\cdot 1+4\cdot 3+0\,(-4)&0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} 1\,(-2)+2\cdot 0+(-3)\,5&1\cd... ...\\ 3\,(-2)+4\cdot 0+0\cdot 5&3\cdot 1+4\cdot 3+0\,(-4)&0 \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -17&\;19&\;0\\ -6&15&0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -17&\;19&\;0\\ -6&15&0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -17&\;19&\;0\\ -6&15&0 \end{array}}\right]$ .

Observe que neste exemplo o produto BA não está definido. Entretanto, mesmo quando está definido, BA pode não ser igual a AB, como mostra o exemplo seguinte.


Exemplo.   Sejam

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right]$    e    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right]$ .

Então

AB = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&7\\ -6&15 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -2&7\\ -6&15 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&7\\ -6&15 \end{array}}\right]$    e    BA = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&0\\ 9&12 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&0\\ 9&12 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&0\\ 9&12 \end{array}}\right]$ .


 


Definição. A transposta de uma matriz A = (aij)m x n é definida pela matriz B = (bij)n x m obtida trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja,

bij = aji ,

para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Escrevemos B = At e [At]ij = aji.



Exemplo. As transpostas das matrizes

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&4 \end{array}}\right]$ ,    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&1\\ 0&3 \end{array}}\right]$    e    C = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&3&0\\ 2&4&-2 \end{array}}\right]$

são

At = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&3\\ 2&4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&3\\ 2&4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&3\\ 2&4 \end{array}}\right]$ ,    Bt = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -2&0\\ 1&3 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -2&0\\ 1&3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -2&0\\ 1&3 \end{array}}\right]$    e    Ct = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 1&\;2\\ 3&4\\ 0&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1&\;2\\ 3&4\\ 0&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 1&\;2\\ 3&4\\ 0&-2 \end{array}}\right]$ .
Ver também: Propriedades das Operações Matriciais
Parte da página construída por Reginaldo de Jesus Santos
Atualizada por Milton Procópio de Borba
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