Propriedades das Operações Matriciais

A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a aritmética matricial. Elas são muito semelhantes àquelas que são válidas para os números reais. Uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto, como foi mostrado num Exemplo.
Por ser compacta, usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades.  



Teorema.   Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, $ \alpha$ e$ \beta$ escalares. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais:

1.    A + B = B + A;
2.    A + ( B + C ) = ( A + B ) + C;
3.    Existe uma única matriz $ \bar{0}$ m x n, tal que A + $\displaystyle \bar{0}$ = A , para qualquer matriz A, m x n.
       A matriz $ \bar{0}$ é chamada matriz nula.
4.    Para cada matriz A, existe uma única matriz B, tal que A + B = $ \bar{0}$. Representamos B por - A.
5.    $ \alpha$($ \beta$A) = ($ \alpha$$ \beta$)A;
6.    ($ \alpha$ + $ \beta$)A = $ \alpha$A + $ \beta$A;
7.    $ \alpha$(A + B) = $ \alpha$A + $ \alpha$B;
8.    A(BC) = (AB)C;
9.    A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC;
10.    $ \alpha$(AB) = ($ \alpha$A)B = A($ \alpha$B);
11.    (At)t = A;
12.    (A + B)t = At + Bt;
13.    (AB)t = BtAt;
14.    ($ \alpha$A)t = $ \alpha$ At;
15.     A matriz, n x n,

In = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&&0\\ 0&1&\ldots&&0\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\ldots&&1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&&0\\ 0&1&\ldots&&0\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\ldots&&1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&&0\\ 0&1&\ldots&&0\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\ldots&&1 \end{array}}\right]$,

chamada matriz identidade é tal que

 A In = A,    para qualquer matriz    A = (aij)m x n    e

In B = B,    para qualquer matriz    B = (bij)n x m.



Demonstração. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Serão usadas várias propriedades dos números sem citá-las explicitamente.

1.
(A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij;
2.
[A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij = [(A + B) + C]ij;
3.
Seja U uma matriz m x n tal que

 
A + U = A

para qualquer matriz A, m x n. Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij + uij = aij ,

ou seja, uij = 0, para i = 1..., m e j = 1..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz à equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. Denotamos esta matriz por $ \bar{0}$.
4.
Dada uma matriz A, m x n, seja B uma matriz m x n, tal que

 
A + B = $\displaystyle \bar{0}$ .

Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij + bij = 0 ,

ou seja, bij = - aij, para i = 1..., m e j = 1..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz 'a equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A. Denotamos esta matriz por - A.
5.
[$ \alpha$($ \beta$A)]ij = $ \alpha$($ \beta$aij) = ($ \alpha$$ \beta$)aij = [($ \alpha$$ \beta$)A]ij.
6.
[($ \alpha$ + $ \beta$)A]ij = ($ \alpha$ + $ \beta$)aij = ($ \alpha$aij) + ($ \beta$aij) = [$ \alpha$A]ij + [$ \beta$A]ij = [$ \alpha$A + $ \beta$A]ij.
7.
[$ \alpha$(A + B)]ij = $ \alpha$(aij + bij) = $ \alpha$aij + $ \alpha$bij = [$ \alpha$A]ij + [$ \alpha$B]ij = [$ \alpha$A + $ \alpha$B]ij.
8.
A demonstração deste item é a mais trabalhosa. Sejam A, B e C matrizes m x p, p x q e q x n respectivamente. A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta.
[A(BC)]ij = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aik(BC)kj = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aik($\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$bklclj) = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$$\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$aik(bklclj) =  
  = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$$\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$(aikbkl)clj = $\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$$\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$(aikbkl)clj = $\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$($\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkl)clj =  
  = $\displaystyle \sum_{l=1}^{q}$(AB)ilclj = [(AB)C]ij .  

9.
Usando a notação do Somatório,
[A(B + C)]ij = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aik(B + C)kj = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aik(bkj + ckj) = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$(aikbkj + aikckj) =  
  = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkj + $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikckj = (AB)ij + (AC)ij = [AB + AC]ij .  

A outra igualdade é inteiramente análoga a anterior e deixamos como exercício.
10.
[$\displaystyle \alpha$(AB)]ij = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkj = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$($\displaystyle \alpha$aik)bkj = [($\displaystyle \alpha$A)B]ij
e
[$\displaystyle \alpha$(AB)]ij = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aikbkj = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$aik($\displaystyle \alpha$bkj) = [A($\displaystyle \alpha$B)]ij.
11.
[(At)t]ij = [At]ji = aij.
12.
[(A + B)t]ij = [A + B]ji = aji + bji = [At]ij + [Bt]ij.
13.
[(AB)t]ij = [AB]ji = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$ajkbki = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$[At]kj[Bt]ik = $\displaystyle \sum_{k=1}^{p}$[Bt]ik[At]kj = = [BtAt]ij.
14.
[($ \alpha$A)t]ij = [$ \alpha$A]ji = $ \alpha$aji = $ \alpha$[At]ij.
15.
A demonstração deste item é simples e deixamos como exercício.
$ \mbox{$\space $\textcolor{blue}{\rule{2mm}{2mm}}}$


  A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B é definida por

A - B = A + (- B),

ou seja, é a soma da matriz A com a simétrica da matriz B.



Exemplo. Vamos verificar se para matrizes A e B, quadradas, vale a igualdade

 
(A + B)(A - B) = A2 - B2.

Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
(A + B)(A - B) = (A + B)A + (A + B)(- B)  
  = AA + BA - AB - BB = A2 + BA - AB - B2  

Assim, (A + B)(A - B) = A2 - B2 se, e somente se, BA - AB = 0, ou seja, se, e somente se, AB = BA. Como o produto de matrizes não é comutativo, a conclusão é que a igualdade em questão não vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si. Sejam

A = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}}\right]$    e    B = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}}\right]$.

Para estas matrizes

A + B = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}}\right]$,    A - B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}}\right]$,    A2 = A = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}}\right]$,    B2 = B = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}}\right]$.

Assim,

(A + B)(A - B) = $\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}}\right]$$\displaystyle \ne$$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}}\right]$ = A2 - B2.




Exercícios Numéricos

1.
Considere as seguintes matrizes

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 2&0\\ \noalign{\medskip }6&7\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 2&0\\ \noalign{\medskip }6&7\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 2&0\\ \noalign{\medskip }6&7\end{array}}\right]$ ,    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rr} 0&4\\ \noalign{\medskip }2&-8\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rr} 0&4\\ \noalign{\medskip }2&-8\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rr} 0&4\\ \noalign{\medskip }2&-8\end{array}}\right]$ ,    C = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -6&9&-7\\ \noalign{\medskip }7&-3&-2\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -6&9&-7\\ \noalign{\medskip }7&-3&-2\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -6&9&-7\\ \noalign{\medskip }7&-3&-2\end{array}}\right]$ ,

D = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -6&4&0\\ 1&1&4 \\ -6&0&6\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -6&4&0\\ 1&1&4 \\ -6&0&6\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -6&4&0\\ 1&1&4 \\ -6&0&6\end{array}}\right]$ ,    e    E = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 6&9&-9\\ -1&0&-4 \\ -6&0&-1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 6&9&-9\\ -1&0&-4 \\ -6&0&-1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 6&9&-9\\ -1&0&-4 \\ -6&0&-1 \end{array}}\right]$ .

Se for possível, calcule:
(a)   AB - BA;
(b)   2C - D;
(c)   (2Dt - 3Et)t;
(d)   D2 - DE;

2.
Sejam

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&-3&0\\ 0&4&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&-3&0\\ 0&4&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&-3&0\\ 0&4&-2 \end{array}}\right]$    e    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 5 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{r} 3\\ 2\\ 5 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 5 \end{array}}\right]$ .

Verifique que AB = 3A1 + 2A2 + 5A3, onde Aj é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3.
3.
Encontre um valor de x tal que ABt = 0, onde

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} x&4&-2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} x&4&-2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} x&4&-2 \end{array}}\right]$    e    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 2&-3&5 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 2&-3&5 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 2&-3&5 \end{array}}\right]$ .

4.
Sejam

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 4&3&-9\\ 9&-2&2 \\ -4&-5&5\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 4&3&-9\\ 9&-2&2 \\ -4&-5&5\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 4&3&-9\\ 9&-2&2 \\ -4&-5&5\end{array}}\right]$    e    B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} -9&-3&-7\\ -4&8&4 \\ -5&-2&1\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} -9&-3&-7\\ -4&8&4 \\ -5&-2&1\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} -9&-3&-7\\ -4&8&4 \\ -5&-2&1\end{array}}\right]$ .

Encontre:
(a)
a 1a. linha de AB;
(b)
a 3a. coluna de AB;
(c)
a 2a. linha de AtBt;
(d)
a 2a. coluna de AtBt.



Exercícios Teóricos  


5.     Seja D = (dij)n x n uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Sejam dii = $ \lambda_{i}^{}$ os elementos da diagonal de D.
(a)
Se uma matriz A = [A1  A2  ...  An], onde Aj é a coluna j de A, então AD = [$ \lambda_{1}^{}$A1  $ \lambda_{2}^{}$A2  ...  $ \lambda_{n}^{}$An].
(b)
Se uma matriz A = $ \left[\vphantom{ \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_n \end{array}}\right.$$ \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_n \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{c} A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_n \end{array}}\right]$, então DA = $ \left[\vphantom{ \begin{array}{c} \lambda_1A_1\\ \lambda_2A_2\\ \vdots\\ \lambda_nA_n \end{array}}\right.$$ \begin{array}{c} \lambda_1A_1\\ \lambda_2A_2\\ \vdots\\ \lambda_nA_n \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \lambda_1A_1\\ \lambda_2A_2\\ \vdots\\ \lambda_nA_n \end{array}}\right]$, onde Ai é a linha i de A.
 
6.(a)   Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto ABj, onde Bj é a j-ésima coluna de B;
   (b)   Mostre que a i-ésima linha do produto AB é igual ao produto AiB, onde Ai é a i-ésima linha de A.
7.   Seja A uma matriz n x n. Mostre que se AAt = $ \bar{0}$, então A = $ \bar{0}$.
8.   Se AB = BA e p é um inteiro não negativo, mostre que (AB)p = ApBp.
9.   Sejam A, B e C matrizes n x n.
(a)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2? E se AB = BA?
(b)
(AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB?
10.    Seja A uma matriz m x n e B = $ \left[\vphantom{\begin{array}{r}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array}}\right.$$ \begin{array}{r}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{r}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array}}\right]$ uma matriz n x 1. Prove que
AB = $ \sum_{j=1}^{n}$bjAj, onde Aj é a j-ésima coluna de A.
11.   Se A e B são duas matrizes tais que AB = $ \bar{0}$, então A = $ \bar{0}$ ou B = $ \bar{0}$? Justifique.  
12.   Dizemos que uma matriz A, n x n é simétrica se At = A.
(a)
Mostre que se A é simétrica, então aij = aji, para i, j = 1,...n;
(b)
Mostre que se A e B são simétricas, então A + B também é simétrica e AB é simétrica se, e somente se, AB = BA;
13.   Determine todas as matrizes A, 2 x 2, tais que AB = BA para toda matriz B, 2 x 2.
Parte da página construída por Reginaldo de Jesus Santos
Atualizada por Milton Procópio de Borba
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