Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear da forma
 
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_... ..._{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& &\ldots&... ...ots\\ a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{... ..._{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& 0 \end{array} }\right.$

é chamado     sistema homogêneo. Este sistema pode ser escrito como A X = $ \bar{0}$. Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução X = $ \left[\vphantom{\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}}\right.$$ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}}\right]$ = $ \left[\vphantom{\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}}\right.$$ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}}\right]$ chamada de solução trivial.
Portanto, todo sistema homogêneo tem solução.


Observação. Para resolver um sistema linear homogêneo A X = $ \bar{0}$, basta escalonarmos a matriz A do sistema, já que sob a ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada. Mas, é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não vimos escrevendo.

Teorema.   Se A = (aij)m x n, é tal que m < n, então o sistema homogêneo AX = $ \bar{0}$ tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções.

Demonstração. Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n. Assim, temos pelo menos n - r incógnitas livres, que podem assumir qualquer valor. Logo, o sistema admite solução não trivial. $ \mbox{$\space $\textcolor{blue}{\rule{2mm}{2mm}}}$

Exemplo. O conjunto solução de um sistema linear homogêneo satisfaz duas propriedades importantes:

1.
Se X e Y são soluções do sistema homogêneo AX = $ \bar{0}$, então AX = $ \bar{0}$ e AY = $ \bar{0}$ e portanto X + Y também é solução pois, A(X + Y) = AX + AY = $ \bar{0}$ + $ \bar{0}$ = $ \bar{0}$;
2.
Se X é solução do sistema homogêneo AX = $ \bar{0}$, então $ \alpha$X também o é, pois A($ \alpha$X) = $ \alpha$AX = $ \alpha$$ \bar{0}$ = $ \bar{0}$.
Portanto, se X e Y são soluções de um sistema homogêneo, então X + Y e $ \alpha$X também o são. Estas propriedades não são válidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o sistema linear A X = B, onde A = [1] e B = [1]. A solução deste sistema é X = [1]. Mas, X + X = 2 X = 2, não é solução do sistema.

Exercícios Numéricos

1.
Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida:
A = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&\;0&3\\ 0&0&1&0&-4\\ 0&0&0&1&2 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&\;0&3\\ 0&0&1&0&-4\\ 0&0&0&1&2 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&\;0&3\\ 0&0&1&0&-4\\ 0&0&0&1&2 \end{array}}\right]$, B = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&0&-4\\ 0&0&1&0&5\\ 0&0&0&-1&2 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&0&-4\\ 0&0&1&0&5\\ 0&0&0&-1&2 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&0&-4\\ 0&0&1&0&5\\ 0&0&0&-1&2 \end{array}}\right]$,
C = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&3\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&0 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&3\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&0 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&3\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&0 \end{array}}\right]$, D = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;0&\;0&\;0&0\\ 0&0&1&2&-4\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;0&\;0&\;0&\;0&0\\ 0&0&1&2&-4\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;0&\;0&\;0&0\\ 0&0&1&2&-4\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}}\right]$.
2.
Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares a matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema.
(a)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&-7&8\\ 0&1&0&3&2\\ 0&0&1&1&-5 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&-7&8\\ 0&1&0&3&2\\ 0&0&1&1&-5 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;0&\;0&-7&8\\ 0&1&0&3&2\\ 0&0&1&1&-5 \end{array}}\right]$;    (b)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrrr} \;1&-6&\;0&\;0&\;3&-2\\ 0&0&1&0&4&7\\ 0&0&0&1&5&8\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrrr} \;1&-6&\;0&\;0&\;3&-2\\ 0&0&1&0&4&7\\ 0&0&0&1&5&8\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrrr} \;1&-6&\;0&\;0&\;3&-2\\ 0&0&1&0&4&7\\ 0&0&0&1&5&8\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}}\right]$;
(c)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&6\\ 0&1&0&0&3\\ 0&0&1&1&2 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&6\\ 0&1&0&0&3\\ 0&0&1&1&2 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&6\\ 0&1&0&0&3\\ 0&0&1&1&2 \end{array}}\right]$;    (d)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrrr} \;1&\;7&\;0&\;0&-8&-3\\ 0&0&1&0&6&5\\ 0&0&0&1&3&9\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrrr} \;1&\;7&\;0&\;0&-8&-3\\ 0&0&1&0&6&5\\ 0&0&0&1&3&9\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrrr} \;1&\;7&\;0&\;0&-8&-3\\ 0&0&1&0&6&5\\ 0&0&0&1&3&9\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}}\right]$.
3.
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 2x_2 && &-& 3x_4 &+... ..._1 &+& 6x_2 &+& x_3 &-& 9x_4 &+& 4x_5 &+& 3x_6 &=& 9\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 2x_2 && &-& 3x_4 &+& x_5 && &=& 2\\ ... ... 4\\ 3x_1 &+& 6x_2 &+& x_3 &-& 9x_4 &+& 4x_5 &+& 3x_6 &=& 9\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 2x_2 && &-& 3x_4 &+&... ..._1 &+& 6x_2 &+& x_3 &-& 9x_4 &+& 4x_5 &+& 3x_6 &=& 9\\ \end{array} }\right.$;
(b)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 3x_2 &-&2x_3 && &+&... ... 2x_1 &+& 6x_2 && &+& 8x_4 &+& 4x_5 &+&18x_6 &=& 6\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 3x_2 &-&2x_3 && &+& 2x_5 && &=& 0\\ ... ...6 &=& 5\\ 2x_1 &+& 6x_2 && &+& 8x_4 &+& 4x_5 &+&18x_6 &=& 6\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} x_1 &+& 3x_2 &-&2x_3 && &+& ... ... 2x_1 &+& 6x_2 && &+& 8x_4 &+& 4x_5 &+&18x_6 &=& 6\\ \end{array} }\right.$;
(c)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 2x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 && &+& ... ...& &-& x_5 &=& 0\\ && && x_3 &+& x_4 &+& x_5 &=& 0\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 2x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 && &+& x_5 &=& 0\\ -x_1 ... ... &-&2x_3 && &-& x_5 &=& 0\\ && && x_3 &+& x_4 &+& x_5 &=& 0\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 2x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 && &+& x... ...& &-& x_5 &=& 0\\ && && x_3 &+& x_4 &+& x_5 &=& 0\\ \end{array} }\right.$.
4.
Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são:
(a)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&2&3&1&8\\ 1&3&0&1&7\\ 1&0&2&1&3 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} 1&2&3&1&8\\ 1&3&0&1&7\\ 1&0&2&1&3 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} 1&2&3&1&8\\ 1&3&0&1&7\\ 1&0&2&1&3 \end{array}}\right]$;    (b)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrr} 1&2&3&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&2&0\\ 1&3&3&0 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrr} 1&2&3&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&2&0\\ 1&3&3&0 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrr} 1&2&3&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&2&0\\ 1&3&3&0 \end{array}}\right]$;
(c)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;1&\;3&-3&0\\ 0&2&1&-3&3\\ 1&0&2&-1&-1 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;1&\;1&\;3&-3&0\\ 0&2&1&-3&3\\ 1&0&2&-1&-1 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;1&\;3&-3&0\\ 0&2&1&-3&3\\ 1&0&2&-1&-1 \end{array}}\right]$;    (d)  $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&-2&3&\;4\\ 2&-1&-3&5\\ 3&0&1&2\\ 3&-3&0&7 \end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr} \;1&-2&3&\;4\\ 2&-1&-3&5\\ 3&0&1&2\\ 3&-3&0&7 \end{array}$ $ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&-2&3&\;4\\ 2&-1&-3&5\\ 3&0&1&2\\ 3&-3&0&7 \end{array}}\right]$.
5.
Seja

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 1&1&1\\ \;0&\;1&-4 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 1&1&1\\ \;0&\;1&-4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 1&1&1\\ \;0&\;1&-4 \end{array}}\right]$ .

(a)
Encontre a solução geral do sistema (- 4I3 - A)X = $ \bar{0}$;
(b)
Encontre a solução geral do sistema (2I3 - A)X = $ \bar{0}$;

6.
Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
(a)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &-& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &-& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &-& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array} }\right.$;
(b)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrc} x &+& y &+& z &=& 2\\ 2x &+& 3y &+& 2z &=&5 \\ 2x &+& 3y &+& (a^2-1)z &=& a+1\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrc} x &+& y &+& z &=& 2\\ 2x &+& 3y &+& 2z &=&5 \\ 2x &+& 3y &+& (a^2-1)z &=& a+1\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrc} x &+& y &+& z &=& 2\\ 2x &+& 3y &+& 2z &=&5 \\ 2x &+& 3y &+& (a^2-1)z &=& a+1\\ \end{array} }\right.$;
(c)  $ \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &+& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array} }\right.$$ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &+& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array}$ $ \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& y &+& z &=& 2\\ x &+& 2y &+& z &=&3 \\ x &+& y &+& (a^2-5)z &=& a\\ \end{array} }\right.$;

Exercícios Teóricos

7.  Mostre que se X é solução de um sistema linear A X = B, então X também é solução de C X = D, onde [C  |  D] é obtida de [A  |  B] aplicando-se uma operação elementar sobre suas linhas.

8.  Mostre que toda operação elementar possui inversa, do mesmo tipo, ou seja, para cada operação elementar existe uma outra operação elementar do mesmo tipo que desfaz o que a operação anterior fez.

9.  Prove:
  (a)  Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma;
  (b)  Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A;
  (c)  Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C.

10.    Seja A uma matriz quadrada, n x n, na forma escalonada reduzida. Mostre que se A$ \ne$In, então A tem uma linha nula.

11.  Sejam X1 e X2 soluções do sistema homogêneo A X = $ \bar{0}$.
  (a)  Mostre que $ \alpha$X1 + $ \beta$X2 é solução, para quaisquer escalares $ \alpha$ e $ \beta$;
  (b)  Mostre que o item anterior não é verdadeiro para sistemas lineares em geral.  
12.    Chamamos de matriz elementar uma matriz obtida aplicando-se uma operação elementar na matriz identidade. Seja E uma matriz elementar de ordem n. Mostre que se aplicamos em uma matriz A, de ordem n, a mesma operação elementar que originou E obteremos a matriz E A.
(Sugestão: faça as contas para matrizes de ordem 2 e depois generalize para as de ordem n)
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Atualizada por Milton Procópio de Borba
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