Sistemas de Equações Lineares

Existem problemas em várias áreas da Ciência que recaem na solução de sistemas lineares.

Definição.

1.

Uma equação linear em n variáveis x₁, x₂,..., x_n é uma equação da forma

a₁x₁ + a₂x₂ +...+ a_nx_n = b ,

onde a₁, a₂,..., a_n e b são constantes reais;

2.

Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da forma

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_... ...m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& b_m \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& &\ldots&... ...s\\ a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& b_m \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_1 &+& a_{... ...m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& &\ldots& &+& a_{mn}x_n &=& b_m \end{array} }\right.$

onde a_ij e b_k são constantes reais, para i, k = 1,..., m e j = 1,..., n.

Usando as operações matriciais que definimos na seção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial

AX = B ,

onde

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n... ... \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n}\\ a_{21}&a_{... ...a_{2n}\\ \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n... ... \vdots&&\ldots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn} \end{array}}\right]$ , X = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array}}\right]$ e B = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}}\right]$ .

Uma solução de um sistema linear é uma matriz S = $\left[\vphantom{\begin{array}{c} s_1\\ s_2\\ \vdots\\ s_n\end{array}}\right.$ $\begin{array}{c} s_1\\ s_2\\ \vdots\\ s_n\end{array}$ $\left.\vphantom{\begin{array}{c} s_1\\ s_2\\ \vdots\\ s_n\end{array}}\right]$ tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituimos x₁ = s₁, x₂ = s₂,..., x_n = s_n. O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema.

Exemplo. O sistema linear de duas equações e duas incógnitas

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrr} x &+& 2y &=& 1\\ 2x&+& y &=& 0 \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrr} x &+& 2y &=& 1\\ 2x&+& y &=& 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrr} x &+& 2y &=& 1\\ 2x&+& y &=& 0 \end{array} }\right.$

pode ser escrito como

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrrr} 1&2\\ 2&1 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrr} 1&2\\ 2&1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrr} 1&2\\ 2&1 \end{array}}\right]$ $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} x\\ y \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}}\right]$ .

A solução (geral) do sistema acima é x = - 1/3 e y = 2/3 ou

X = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} -1/3\\ 2/3 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{r} -1/3\\ 2/3 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} -1/3\\ 2/3 \end{array}}\right]$ .

Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver. O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operações sobre as equações. As operações que são usadas são:

Troca de posição entre duas equações do sistema;
Multiplicação de uma equação por um escalar diferente de zero;
Somar a uma equação um múltiplo de outra equação.

Estas operações são chamadas de operações elementares. Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear somente os coeficientes do sistema são alterados, assim podemos aplicar as operações sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de matriz aumentada, ou seja, a matriz

[A | B] = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc@{\Big\vert}c} a_{11}&a_{12}&... ...\ldots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn}&b_m \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccccc@{\Big\vert}c} a_{11}&a_{12}&\ldots&&a_{1n}&b... ...\vdots&&\ldots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn}&b_m \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc@{\Big\vert}c} a_{11}&a_{12}&... ...\ldots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&&a_{mn}&b_m \end{array}}\right]$ .

Definição. Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações:

1.: Troca da posição de duas linhas;
2.: Multiplicação de uma linha da matriz por um escalar (número) diferente de zero;
3.: Somar a uma linha da matriz um múltiplo de outra linha.

O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que ela esteja numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução. Vamos procurar ``deixar'' a matriz numa forma em que todas as linhas nulas estejam abaixo das linhas não nulas, todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo o número 1 (será chamado de pivô). Além disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso.

Exemplo. Considere o seguinte sistema

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} 2x &+& 4y &+& z &=& 10\\ x &+& y && &=& 3\\ x &+&2y && &=& 5\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr} 2x &+& 4y &+& z &=& 10\\ x &+& y && &=& 3\\ x &+&2y && &=& 5\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} 2x &+& 4y &+& z &=& 10\\ x &+& y && &=& 3\\ x &+&2y && &=& 5\\ \end{array} }\right.$

A sua matriz aumentada é

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{crr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & ... ...ircled{\normalsize {1}}} & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{crr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & 10\\ \mbox{\large\textcircled{\normalsize {1}}} & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{crr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & ... ...ircled{\normalsize {1}}} & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array} }\right]$

1a. eliminação: Vamos procurar para pivô da 1a. linha um elemento não nulo da primeira coluna (podemos usar a troca de linhas para ``trazê-lo'' para a primeira linha). Como temos que fazer o pivô igual a um, escolhemos para pivô o elemento de posição 2 1. Precisamos ``colocá-lo'' na primeira linha, para isto, trocamos a 2a. linha com a 1a.

1a. linha $&harr#leftrightarrow;$ 2a. linha

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} \mbox{\large... ... & 1 &0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 0& 5 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} \mbox{\large\textcircled{\normalsize {1}}} & 1 &0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 0& 5 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} \mbox{\large... ... & 1 &0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 0& 5 \\ \end{array} }\right]$

Agora, precisamos ``zerar'' os outros elementos da 1a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 2a. linha, -2 vezes a 1a. linha e adicionamos à 3a. linha, -1 vezes a 1a. linha.

$\textstyle \parbox{8cm}{$-2*$ 1a. linha $+$ 2a. linha $\rightarrow$\space 2a. linha\\ $-1*$ 1a. linha $+$\space 3a. linha $\rightarrow$\space 3a. linha}$

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{c} \begin{array}{crc@{\Big\vert}... ...e\textcircled{\normalsize {1}}} &0 & 2 \\ \end{array}$} \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{crc@{\Big\vert}c} 1\, & \,1\, ... ...x{\large\textcircled{\normalsize {1}}} &0 & 2 \\ \end{array}$} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \begin{array}{crc@{\Big\vert}... ...e\textcircled{\normalsize {1}}} &0 & 2 \\ \end{array}$} \end{array}}\right]$

2a. eliminação: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a. coluna não nula desta sub-matriz. Pela mesma razão que na 1a. eliminação vamos escolher o elemento de posição 3 2. Precisamos ``colocá-lo'' na 2a. linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 2a.

2a. linha $&harr#leftrightarrow;$ 3a. linha

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 &1 &0 & 3 ... ...ircled{\normalsize {1}}} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 1 & 4 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 &1 &0 & 3 \\ 0 &\mbox{\large\textcircled{\normalsize {1}}} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 1 & 4 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 &1 &0 & 3 ... ...ircled{\normalsize {1}}} & 0 & 2 \\ 0 &2 & 1 & 4 \\ \end{array} }\right]$

Agora, precisamos zerar os outros elementos da 2a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, somamos à 3a. linha, -2 vezes a 2a. e somamos à 1a. linha, -1 vezes a 2a.

$\textstyle \parbox{8cm}{$-2*$ 2a. linha $+$\space 3a. linha $\rightarrow$\space 3a. linha\\ $-1*$ 2a. linha $+$\space 1a. linha $\rightarrow$\space 1a. linha}$

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccc@{\Big\vert}c} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array} }\right]$

Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x && && &=& 1\\ && y && &=& 2\\ && && z &=& 0 \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr} x && && &=& 1\\ && y && &=& 2\\ && && z &=& 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x && && &=& 1\\ && y && &=& 2\\ && && z &=& 0 \end{array} }\right.$

que possui solução geral dada por

X = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 0 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 0 \end{array}}\right]$ .

A última matriz que obtivemos está na forma que chamamos de escalonada reduzida.

Definição. Uma matriz A = (a_ij)_{m
x n} está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:

1.: Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
2.: O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a 1 (chamado de pivô);
3.: O pivô da linha i + 1 ocorre à direita do pivô da linha i, para i = 1,..., m - 1.
4.: Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero;

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a), (b) e (c), mas não necessariamente (d), dizemos que ela é uma matriz escalonada.

Exemplo. As matrizes

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;3&\;0&\;0&5\\ 0&0&1&0&-2\\ 0&0&0&1&2 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrr} \;1&\;3&\;0&\;0&5\\ 0&0&1&0&-2\\ 0&0&0&1&2 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;1&\;3&\;0&\;0&5\\ 0&0&1&0&-2\\ 0&0&0&1&2 \end{array}}\right]$ , $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&\;0&-3\\ 0&0&1&0&-1\\ 0&0&0&1&5 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&\;0&-3\\ 0&0&1&0&-1\\ 0&0&0&1&5 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr} \;0&\;1&\;0&\;0&-3\\ 0&0&1&0&-1\\ 0&0&0&1&5 \end{array}}\right]$ e $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}}\right]$

são escalonadas reduzidas.

Definição. Uma matriz A = (a_ij)_{m x n} é equivalente por linhas a uma matriz B = (b_ij)_{m x n}, se B pode ser obtida de A aplicando-se uma seqüência de operações elementares sobre as suas linhas.

Exemplo. Observando o Exemplo acima, vemos que a matriz aumentada do sistema

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & 10\\ 1 & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & 10\\ 1 & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 2 & 4 & 1 & 10\\ 1 & 1 &0 &3\\ 1 & 2 & 0 &5\\ \end{array} }\right]$

é equivalente por linhas à matriz

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 &0 & 2 \\ 0 &0 & 1 & 0 \\ \end{array} }\right]$ ,

que é escalonada reduzida. Além disso, se fizermos qualquer operação elementar sobre suas linhas a matriz resultante não será mais escalonada reduzida, ou seja, a forma reduzida escolonada é única. Em geral, qualquer matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida e a demonstração, que omitiremos, pode ser feita da mesma forma que fizemos com o caso particular do exemplo anterior. Este método de resolução de sistemas é conhecido como o método de Gauss-Jordan.

Teorema. Toda matriz A = (a_ij)_{m
x n} é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida R = (r_ij)_{m x n}.

Exemplo. Considere o seguinte sistema

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccccccccc} & & &&3z&-&9w&=& 6... ...x&+& 12y&-&2z&+&14w&=&-24\\ x&+&3y&-&z&+&5w&=& -7\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} & & &&3z&-&9w&=& 6\\ 5x&+&15y&-&10z... ...-45\\ 4x&+& 12y&-&2z&+&14w&=&-24\\ x&+&3y&-&z&+&5w&=& -7\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccccc} & & &&3z&-&9w&=& 6\... ...x&+& 12y&-&2z&+&14w&=&-24\\ x&+&3y&-&z&+&5w&=& -7\\ \end{array} }\right.$

A sua matriz aumentada é

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} 0&0&3&-9&6\\ 5&... ...\ \mbox{\large\textcircled{\normalsize {$1$}}}&3&-1&5&-7 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} 0&0&3&-9&6\\ 5&15&-10&40&-45\\ ... ...&14&-24\\ \mbox{\large\textcircled{\normalsize {$1$}}}&3&-1&5&-7 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} 0&0&3&-9&6\\ 5&... ...\ \mbox{\large\textcircled{\normalsize {$1$}}}&3&-1&5&-7 \end{array}}\right]$

1a. eliminação:
Como temos que fazer o pivô igual a um, escolhemos para pivô o elemento de posição 4 1. Precisamos ``colocá-lo'' na primeira linha, para isto, trocamos a 4a. linha com a 1a.

1a. linha $&harr#leftrightarrow;$ 4a. linha

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\te... ...&-1&5&-7\\ 5&15&-10&40&-45\\ 4&12&-2&14&-24\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\textcircled{\norma... ...$1$}}}&3&-1&5&-7\\ 5&15&-10&40&-45\\ 4&12&-2&14&-24\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{crrr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\te... ...&-1&5&-7\\ 5&15&-10&40&-45\\ 4&12&-2&14&-24\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}}\right]$

Agora, precisamos ``zerar'' os outros elementos da 1a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 2a. linha, -5 vezes a 1a. e adicionamos à 3a. linha, -4 vezes a 1a.

$\textstyle \parbox{8cm}{$-5*$ 1a. linha $+$\space 2a. linha $\rightarrow$\space 2a. linha\\ $-4*$ 1a. linha + 3a. linha $\rightarrow$\space 3a. linha}$

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{cclr@{\Big\vert}r... ... $-5$}}}&15&-10\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}$} \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{cclr@{\Big\vert}r} 1\,&3\;&-1\;\... ...\small $-5$}}}&15&-10\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}$} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{cclr@{\Big\vert}r... ... $-5$}}}&15&-10\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}$} \end{array}}\right]$

2a. eliminação:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivô um elemento diferente de zero na 1a. coluna não nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento 2 3. Como temos que fazer o pivô igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por -1/5.

$-(1/5)*$2a. linha $&rarr#rightarrow;$ 2a. linha

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrcr@{\Big\vert}r} 1&3&-1&5&-7\\ 0... ...rcled{\normalsize {$1$}}}&-3&2\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrcr@{\Big\vert}r} 1&3&-1&5&-7\\ 0&0&\mbox{\large\textcircled{\normalsize {$1$}}}&-3&2\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrcr@{\Big\vert}r} 1&3&-1&5&-7\\ 0... ...rcled{\normalsize {$1$}}}&-3&2\\ 0&0&2&-6&4\\ 0&0&3&-9&6 \end{array}}\right]$

Agora, precisamos zerar os outros elementos da 2a. coluna, que é a coluna do pivô, para isto, adicionamos à 1a. linha a 2a. , adicionamos à 3a. linha, -2 vezes a 2a. e à 4a. linha, -3 vezes a 2a.

$\textstyle \parbox{6cm}{\hspace{0.7cm}2a. linha $+$ 1a. linha $\rightarrow$\s... ...3a. linha\\ $-3*$ 2a. linha $+$\space 4a. linha $\rightarrow$\space 4a. linha}$

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{rrrr@{\Big\vert}r} 1 & \;3 &\;... ... &-3 & 2 \\ 0 &0 & 0& 0& 0 \\ 0 &0 & 0 & 0& 0 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrr@{\Big\vert}r} 1 & \;3 &\;0 & 2& -5 \\ 0 & 0 & 1 &-3 & 2 \\ 0 &0 & 0& 0& 0 \\ 0 &0 & 0 & 0& 0 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrr@{\Big\vert}r} 1 & \;3 &\;... ... &-3 & 2 \\ 0 &0 & 0& 0& 0 \\ 0 &0 & 0 & 0& 0 \\ \end{array} }\right]$

Esta matriz é escalonada reduzida. Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ccccccccr} x &+&3y&& &+& 2w &=& -5\,\\ && &&z &-& 3w &=& 2. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccccccccr} x &+&3y&& &+& 2w &=& -5\,\\ && &&z &-& 3w &=& 2. \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccccccccr} x &+&3y&& &+& 2w &=& -5\,\\ && &&z &-& 3w &=& 2. \end{array} }\right.$

A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivô. Portanto, temos duas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários. Vamos considerar as variáveis y e w (que não estão associadas a nenhum pivô) variáveis livres.
Sejam w = $\alpha$ e y = $\beta$ . As variáveis associadas aos pivôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres. Assim, a solução geral do sistema é

X = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{r} x\\ y\\ z\\ w \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{r} x\\ y\\ z\\ w \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{r} x\\ y\\ z\\ w \end{array}}\right]$ = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} -5 - 2\alpha-3\beta \\ \beta\\ 2 + 3\alpha\\ \alpha \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} -5 - 2\alpha-3\beta \\ \beta\\ 2 + 3\alpha\\ \alpha \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} -5 - 2\alpha-3\beta \\ \beta\\ 2 + 3\alpha\\ \alpha \end{array}}\right]$ para quaisquer $\alpha$ e $\beta$ reais.

Exemplo. Considere o seguinte sistema

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& 3y &+& 13z &=& 9\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && -2y &-& 10z &=& -8\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr} x &+& 3y &+& 13z &=& 9\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && -2y &-& 10z &=& -8\\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x &+& 3y &+& 13z &=& 9\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && -2y &-& 10z &=& -8\\ \end{array} }\right.$

A sua matriz aumentada é

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{crr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\tex... ...led{\normalsize {$1$}}}&3&13&9\\ 0&1&5&2\\ 0&-2&-10&-8 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{crr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\textcircled{\normalsize {$1$}}}&3&13&9\\ 0&1&5&2\\ 0&-2&-10&-8 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{crr@{\Big\vert}r} \mbox{\large\tex... ...led{\normalsize {$1$}}}&3&13&9\\ 0&1&5&2\\ 0&-2&-10&-8 \end{array}}\right]$

1a. eliminação:
Como o pivô da 1a. linha é igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1a. eliminação.

$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{lrr@{\Big\vert}r}... ...\normalsize {$1$}}}&5&\,2\\ 0&-2&-10&\,-8 \end{array}$} \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{lrr@{\Big\vert}r} 1\;\,\,&3\;\;\... ...ircled{\normalsize {$1$}}}&5&\,2\\ 0&-2&-10&\,-8 \end{array}$} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{c} \begin{array}{lrr@{\Big\vert}r}... ...\normalsize {$1$}}}&5&\,2\\ 0&-2&-10&\,-8 \end{array}$} \end{array}}\right]$

2a. eliminação:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da 1a. coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2 2. Como ele é igual a 1, precisamos, agora, ``zerar'' os outros elementos da coluna do pivô. Para isto somamos à 1a. linha, -3 vezes a 2a. e somamos à 3a. linha, 2 vezes a 2a.

$\textstyle \parbox{6cm}{$-3*$ 2a. linha $+$\space 1a. linha $\rightarrow$\spac... ...\\ \hspace*{3.4mm}$2*$ 2a. linha $+$ 3a. linha $\rightarrow$\space 3a. linha}$

$\displaystyle \left[\vphantom{ \begin{array}{ccr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &-2 & 3 \\ 0 & 1 &5 & 2 \\ 0 &0 & 0 & -4 \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ccr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &-2 & 3 \\ 0 & 1 &5 & 2 \\ 0 &0 & 0 & -4 \\ \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{ccr@{\Big\vert}r} 1 & 0 &-2 & 3 \\ 0 & 1 &5 & 2 \\ 0 &0 & 0 & -4 \\ \end{array} }\right]$

Portanto o sistema dado é equivalente ao sistema

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x && && -2z &=& 3\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && & & 0 &=& -4 \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr} x && && -2z &=& 3\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && & & 0 &=& -4 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{rrrrrrr} x && && -2z &=& 3\\ && y &+& 5z &=& 2\\ && & & 0 &=& -4 \end{array} }\right.$

que não possui solução.

Teorema. Se as matrizes aumentadas de dois sistemas lineares AX = B e CX = D, [A | B] e [C | D] são equivalentes por linhas então os sistemas possuem as mesmas soluções.

Demonstração. A demonstração deste teorema segue de duas observações que faremos a seguir:

(1): Se X é solução de um sistema, então X também é solução do sistema obtido aplicando-se uma operação elementar sobre suas equações (por que?).
(2): Se o sistema CX = D, pode ser obtido de AX = B aplicando-se operações elementares às suas equações (ou equivalentemente às linhas da matriz aumentada), então o sistema AX = B também pode ser obtido de CX = D aplicando-se operações elementares, pois cada operação elementar possui uma operação elementar inversa (que desfaz!) (verifique!).

Pela definição de equivalente por linhas e pela observação (2), AX = B e CX = D podem ser obtidos um do outro aplicando-se operações elementares sobre as suas linhas. E pela observação (1), os dois possuem as mesmas soluções. $\mbox{$\space $\textcolor{blue}{\rule{2mm}{2mm}}}$

Observação. Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível.

Exemplo. Considere um sistema linear A X = B, que possua duas soluções distintas X₀ $\ne$ X₁. Vamos mostrar que esse sistema possui infinitas soluções. Seja

X = (1 - $\displaystyle \lambda$ )X₀ + $\displaystyle \lambda$ X₁, para $\displaystyle \lambda$ $\displaystyle \in$ $\mathbb{R}$ .

Vamos mostrar que X é solução do sistema A X = B, para qualquer $\mbox{$\lambda\in \mathbb{R}$}$ . Para isto vamos mostrar que A X = B. Aplicando as propriedades (9), (10) das operações matriciais (ver Teorema ) obtemos

A X = A[(1 - $\displaystyle \lambda$ )X₀ + $\displaystyle \lambda$ X₁] = A(1 - $\displaystyle \lambda$ )X₀ + A $\displaystyle \lambda$ X₁ = (1 - $\displaystyle \lambda$ )A X₀ + $\displaystyle \lambda$ A X₁

Como X₀ e X₁ são soluções de A X = B, então A X₀ = B e A X₁ = B, portanto

A X = (1 - $\displaystyle \lambda$ )B + $\displaystyle \lambda$ B = [(1 - $\displaystyle \lambda$ ) + $\displaystyle \lambda$ ]B = B,

pela propriedade (6) do mesmo Teorema.
Assim o sistema A X = B tem infinitas soluções, pois para qualquer valor de $\mbox{$\lambda\in \mathbb{R}$}$ , X é solução.
Observe que para $\lambda$ = 0, X = X₀, para $\lambda$ = 1, X = X₁, para $\lambda$ = 1/2, X = ${\frac{1}{2}}$ X₀ + ${\frac{1}{2}}$ X₁,
para $\lambda$ = 3, X = - 2X₀ + 3X₁ e para $\lambda$ = - 2, X = 3X₀ - 2X₁.

Suponha que escalonamos a matriz aumentada de um sistema linear de m equações e n incógnitas. Observe que o pivô de uma linha i está sempre numa coluna j, com j $\ge$ i. E por isso, o número de linhas não nulas é sempre menor ou igual a n + 1. Dependendo da forma da última linha não nula podemos classificar o sistema quanto ao número de soluções:

Se a última linha não nula é da forma [ 0...0 | b'_p ], com b'_p $\ne$ 0, então o sistema associado não tem solução
( ver Exemplo ).
Se a última linha não nula é a linha n e é da forma [ 0...0 1 | b'_n ] , então o sistema correspondente tem solução única, pois isto força a que todos os pivôs estejam na diagonal e toda variável esteja associada a um pivô
( ver exemplo ).
Se a última linha não nula é a linha p, com p < n e o pivô da linha p está na coluna k, com kn. Então o sistema tem infinitas soluções. Pois,
- se k < n, então a última linha é da forma [ 0...0 1 a'_{p(k
  + 1)}...a'_pn| b'_p ], o que implica que as variáveis x_{k + 1},..., x_n não estão associadas a nenhum pivô. Por isso, estas variáveis podem ser consideradas variáveis livres
  ( ver exemplo );
- se p < k $\le$ n, então pelo menos uma coluna é da forma [a'_1j...a'_{(j
  - 1)j} 0...0 ]^t, o que implica que a variável x_j não está associada a nenhum pivô. Por isso, x_j pode ser considerada uma variável livre
  ( ver exemplo ).

Vale a pena, ainda, ver: Sistemas Lineares Homogêneos

Parte da página construída por Reginaldo de Jesus Santos
Atualizada por Milton Procópio de Borba

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