O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos perpendiculares entre si ( OX e OY ) que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa (a) e a ordenada (b) respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas (a,b) do ponto P.

O primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for positivo) ou para a esquerda (se for negativo).
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo) ou para baixo (se for negativo).
Observe no desenho, em anexo, que: (a,b) (b,a) se a b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura (com as cores da bandeira do Brasil, em homenagem ao "penta").

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): xA e yB }

Observe que AxBBxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

Como, por exemplo, (a,3) R, isto significa que a está relacionado a 3 por R.
Podemos, ainda dizer que R relaciona a a 3 e escrever aR3.

A relação R em AxB pode ainda ser dita R de A em B e ser denotada por R: AB.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4} então AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

• R₁={(1,3),(1,4)} ===> 1(R₁)3 e 1(R₁)4
• R₂={(1,3)} ===> 1(R₂)3
• R₃={(2,3),(2,4)} ===> 2(R₃)3 e 2(R₃)4

Nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto universo. As relações mais importantes são aquelas definidas em subconjuntos.
Para evitar problemas, pode-se definir uma relação R: AB, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R),
O conjunto B é o contradomínio da relação R, denotado por CoDom(R) e
A imagem é o subconjunto de B, efetivamente usado pela relação R.

Dom(R) = {xA : existe y B tal que (x,y)R}

Im(R)    = {yB : existe x A tal que (x,y)R}

Exemplos e representações gráficas de relações em AxB

R1 = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1), (d,1),(d,2),(d,3)} Dom(R1) = { a , b , c , d } CoDom(R1) = { 1 , 2 , 3 } Im(R1) = { 1 , 2 , 3 }
R2 = {(a,1),(a,2),(c,3),(d,1)} Dom(R2) = { a , b , c , d } CoDom(R2) = { 1 , 2 , 3 } Im(R2) = { 1 , 2 , 3 }
R3 = {(a,1),(b,1),(b,3),(c,3),(d,3)} Dom(R3) = { a , b , c , d } CoDom(R3) = { 1 , 2 , 3 } Im(R3) = { 1 , 3 }

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R^-1, é definida de B em A por:

R^-1 = {(y,x)BxA : (x,y)R}

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por:

Observação importante:
O gráfico da relação inversa R^-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

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• Reflexiva
  Uma relação R em AxA é reflexiva se todo elemento de A se relaciona consigo mesmo, ou seja, para todo x em A: (x,x)R, ou ainda, para todo x em A: xRx.

  Exemplo: Seja A= {a,b,c}. Uma relação reflexiva deve ter os segunintes elementos:

  R= {(a,a),..,(b,b),..,(c,c),..}

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• Simétrica
  Uma relação R em AxA é simétrica se x estiver relacionado com y, então necessariamente y deverá estar relacionado com x, ou seja:
  Quaisquer que sejam xA e yA, tem-se que (x,y)R implica que (y,x)R.

  Exemplo: Seja A={a,b,c}. Uma relação simétrica é:

  R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

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• Transitiva
  Uma relação R em AxA é transitiva, se x estiver relacionado com y e y estiver relacionado com z, então x deverá estar relacionado com z, ou seja:
  Quaisquer que sejam xA, yA, zA, se (x,y)R e (y,z)R então (x,z)R.

  Exemplo: Seja A={a,b,c}. Uma relação transitiva é:

  R={(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

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• Anti-simétrica
  Sejam xA e yA. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y)R e (y,x)R implicar que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

  Exemplo: Seja A={a,b,c}. Uma relação anti-simétrica em A é:

  R={(a,a), (b,b), (a,b), (a,c)}

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

Referência histórica

Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B.

Uma das notações para uma função de A em B, é:

f: AB

Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:

• O domínio A da relação;
• O contradomínio B da relação;
• Todo elemento do domínio A deve ter correspondente em B;
• Cada elemento do domínio A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.

Relações que não são funções

A relação R = {(x,y)R²: x² + y² = a²} não é uma função, pois se tomarmos a reta vertical (linha tracejada no desenho) , teremos duas correspondentes ordenadas (y1 e y2) para a mesma abscisa x = 3a/5.

Dom(R) = I = [-a,a]
Im(R) = [-a,a].

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4={(a,1), (a,3), (b,2), (c,3), (d,3)} não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos, que são 1 e 3.
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3} A relação R5={(a,1), (a,3), (b,2), (c,3)} não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Exemplos importantes de funções reais
( f: RR , onde R = conjunto dos números reais )

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0,+infinito), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é:

Im(f) = { yB : existe xA tal que y = f(x) }

Note que se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos

• A função f: RR, definida por y = f(x) = x², tem as características:
  Dom(f)= R, CoDom(f)= R, Im(f)=[0,+inf)

• A função f: [0,2] R, definida por y = f(x) = x², tem as características:
  Dom(f)=[0,2], CoDom(f)= R, Im(f)=[0,4]

• A função f: R R, definida por y = f(x) = |x|, conhecida por função modular ,tem as características:
  Dom(f)= R, CoDom(f)= R, Im(f)=[0,+infinito)

  e seu gráfico é dado por:

  

• A função real definida por y = representa uma semi-circunferência e tem as características:
  Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)= R, Im(f)=[0,2]

  e seu gráfico é dado por:

  

Uma função f: A B é injetora se dois elementos distintos quaisquer de A sempre duas têm imagens distintas em B, isto é:

x₁ x₂ implica que f(x₁) f(x₂)

Exemplos

• A função f: RR definida por y = f(x) = 3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos valores diferentes para x, encontramos valores diferentes para f(x).
• A função f: RR definida por y= f(x) = x²+5 não é injetora, pois para x = 1 temos f(1) = 6 e para x = -1 temos f(-1) = 6.

Uma função f: AB é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio da função = B, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y = f(x).

Exemplos

• A função f: RR definida por y= f(x) = 3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.
• A função f: RR₊ definida por y = f(x) = x² é sobrejetora, pois todo elemento de R₊ é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.
• A função f: RR definida por y = f(x) = 2^x não é sobrejetora, pois o número –1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

Uma função f: AB é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f: R R dada por y = f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

Uma função real f é par se, qualquer que seja xDom(f), tem-se que f(x) = f(-x).
Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo: A função real definida por y = f(x) = x² é par, pois: f(-x) = (x)² = x² = f(x).
Observe a simetria do gráfico de f.

Outra importante função par é aquela definida por
g(x) = cos(x), pois g(-x) = cos(-x) = cos(x) = g(x).

Uma função real f é ímpar se, qualquer que seja xDom(f), tem-se que f(-x) = -f(x).
Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo: As funções reais definidas por
y = f(x) = 5x e y = g(x) = sen(x) são ímpares, pois
f(-x) = 5(-x) = -5x = -f(x) e
g(-x) = sen(-x) = -sen(x) = -g(x).

No gráfico em anexo pode-se ver a simetria no gráfico da função f.

Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x₁ e x₂ no Domínio de f, com x₁<x₂, tivermos f(x₁)<f(x₂).
Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo: Seja a função f: RR definida por y = f(x) = 8x+2.
Tomando em particular os valores: x₁ = 1 e x₂ = 2, teremos que f(x₁) = 10 e f(x₂) = 18.
Como o gráfico de f é uma reta, x₁<x₂ e f(x₁)<f(x₂) então a função é crescente.

Uma função f é decrescente, se para quaisquer x₁ < x₂ em Dom(f), tivermos f(x₁)>f(x₂).
Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo: Seja a função f: R R definida por y = f(x) = -8x+2.
Tomando em particular: x₁ = 1 e x₂ = 2, teremos que f(x₁) = -6 e f(x₂) = -14.
Como o gráfico de f é uma reta, x₁<x₂ e f(x₁)>f(x₂), a função é decrescente.

Seja f: AB, g:BC duas funções. Chama-se composta de f com g, denotada por gof, a função definida por gof(x) = g(f(x)). A expressão gof pode ser lida como "g bola f".
Para que a composição ocorra o Im(f) deve ser subconjunto de Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u) = 4u+2 e g(x) = 7x–4.
A composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:

Como a variável u não é importante no contexto de uma função, ela poderia ser substituída por x e teríamos:

De um modo geral, fog é diferente de gof.

Exemplo: Consideremos as funções reais definida por f(x) = x²+1 e g(x )= 2x–4. Então:

Dada uma função bijetora f: AB, denomina-se função inversa de f à função
g:BA tal que se f(a) = b, então g(b) = a, quaisquer que sejam aA e bB.
Denotaremos a função inversa de f por f^-1.

Observação: Uma característica importantíssima aqui é que se g é a inversa de f, f é a inversa de g e valem as relações:

onde I_A e I_B são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica nos permite afirmar que os gráfico de f e de sua inversa de f são simétricos em relação à função identidade (y = x).

Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10}.
Consideremos a função f: AB definida por f(x) = 2x e g: BA definida por g(x) = x/2. Obervemos nos gráficos abaixo as situações das setas indicativas das ações das funções.

Seja f: RR, dada poy y = f(x) = x+3.
Na equação y = x+3, trocando x por y e y por x, teremos x = y+3 e isolando y obteremos y = x–3.
Assim, g(x) = x–3 é a função inversa de f(x) = x+3.

Podemos confirmar o resultado (exercício) mostrando que
fog = gof = Identidade.

Com o gráfico podemos observar a simetria em relação à reta identidade.

A partir de funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

• (f+g)(x) = f(x) + g(x)
• (f-g)(x) = f(x) - g(x)
• (f.g)(x) = f(x) . g(x)
• (f/g)(x) = f(x) / g(x)     se g(x)0

Uma função polinomial real tem a forma

e ela tem as seguintes características:

Exemplo: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x) = x² onde x é a medida do lado do quadrado, enquanto que o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x) = x³ onde x é a medida da aresta do cubo.

As funções polinomiais são extremamente úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa.

V(x)=(20-2x)².x

Com esta função, é possível obter valores ótimos para a construção desta caixa.