Por
Milton Procópio
de Borba
1. Distribuição Binomial:
Se a probabilidade de um evento ocorrer = p
então a probabilidade deste evento não ocorrer = 1- p
Se considerarmos n ocorrências semelhantes ou repetidas, então
a probabilidade de acontecer y
eventos é py e a probabilidade de não acontecer os demais
(n-y) eventos é (1- p)n-y.
Assim, a probabilidade de acontecer exatamente y eventos é py.(1-p)n-y,
nesta ordem.
Considerando
as possíveis trocas de ordem, teremos o seguinte número de possibilidades:
Resumindo,
com as seguintes propriedades:
Pn é
NORMALIZADA, isto é, sua soma vale
A média ponderada (média dos y
com probabilidades diferentes) de ocorrências é:
O desvio padrão (média ponderada dos desvios) é de
Estes três resultados saem da fórmula do Binômio de Newton:
2.
Distribuição de Poisson ( só depende da média Y):
Nos casos de n grande com pequenas probabilidades,
Com Y = np, obtemos
com a propriedade:
3.
Distribuição Normal - Gaussiana (valores contínuos de y) :
Usando a aproximação
de Stirling:
obtemos
uma fórmula aproximada, sem o uso do fatorial:
Com s =
, podemos escrever
(Ver:
Distribuição do Erro)
|
Exemplo com: |
n
= 100 p
= 0,1 Y = 10 s
= 3,2 |
|
Propriedades
da Distribuição Gaussiana:
· Probabilidade máxima Þ P(y = Y) = Pmáx
· Largura a meia altura: 2G Þ P(y = Y + G ) = (1/2) Pmáx Þ Largura = 2G
· Altura onde ocorre a largura 2s : h Þ P(y = Y + s ) = h Þ Altura = h
h
= e-1/2. Pmáx »
0,6065 Pmáx
4)
Incertezas
A Probabilidade total de y com a < y <
b pode ser calculada por:
Usando
a Distribuição de Gauss, com a
= Y - s
e b = Y + s,
se obtém que
a
Probabilidade de que | y
– Y | < s
é de
»
0,6827 (68,27%)
A
Probabilidade de que | y
– Y | < 3s
é de
»
0,9973 (99,73%)
Com
a mudança de variável x
= ( y – Y ) / s
,
a integral
que
dá a probabilidade de que |
y – Y | < ss
, fica assim:
