Variáveis Quantitativas
Por
Milton Procópio
de Borba
Um exemplo:
Um certo comprimento y (em cm) foi
medido 40 vezes:
|
72,55
|
73,27
|
73,17
|
73,07
|
74,57
|
71,07
|
72,88
|
73,19
|
73,24
|
72,94
|
|
72,60
|
73,94
|
73,85
|
75,01
|
73,53
|
71,98
|
74,70
|
75,59
|
76,22
|
74,14
|
|
74,40
|
73,35
|
75,11
|
74,01
|
73,41
|
76,30
|
73,65
|
73,54
|
73,62
|
70,58
|
|
74,75
|
72,65
|
72,29
|
72,15
|
73,81
|
74,47
|
72,44
|
74,99
|
74,11
|
74,30
|
A média calculada é de Y = 73,64
cm, com um desvio padrão de s
= 1,23 cm.
Obs.: Costumamos representar o desvio padrão com 1 algarismo
significativo,
exceto
quando o 1º for 1 ou 2 (nestes casos usamos 2 algarismos
significativos).
Como os algarismos
das centenas não são significativos, podemos representar:
y
= (73,6 ±
1,2 ) cm, significando que provavelmente
(73,6 - 1,2) cm
< y <
(73,6 + 1,2)
cm.
Mais
especificamente,
podemos afirmar que
|
72,4
cm
|
<
y <
|
74,8
cm
|
,
com 68,3
|
%
de chance
|
|
72,8
cm
|
<
y
<
|
74,4
cm
|
,
com 50,0
|
%
de chance
|
|
71,2
cm
|
<
y <
|
76,0
cm
|
,
com 95,4
|
%
de chance
|
|
70,0
cm
|
<
y <
|
77,2
cm
|
,
com 99,7
|
%
de chance (quase 100%).
|
Considerações sobre o Exemplo apresentado
1) Cálculo
da média
2) Cálculo do desvio padrão
3)
Desvio padrão com 1
ou 2 algarismos significativos
4)
Algarismos significativos
/ incertezas
5)
Histogramas
1)
Cálculo da média
aritmética (ver outros tipos de médias)
Com
yv = valor
verdadeiro (sempre desconhecido)
Yi = medidas feitas,
com i = 1,2,3, ... , n ( Yi igualmente prováveis )
( aritmética )
2)
Cálculo do desvio padrão
(ver outros tipos de dispersão)
Definimos o Desvio Padrão por :
que é praticamente:
.
Esta
troca de yv por Y se faz por:
(Yi
– yv )² = [(Yi – Y) + (Y – yv
)]² = (Yi – Y)²
+ 2(Yi – Y) (Y – yv ) + (Y – yv
)² .
Assim, s² = (1/n) S
[(Yi – Y)² + (Y – yv )²] »
(1/n) S
(Yi – Y)² + sm² ,
Onde sm é o desvio padrão de várias médias, que é bem menor e é dado por
sm² = s² /n
Agora, de , s²
= (1/n) S
(Yi – Y)² + s²/n
, sai a expressão para s
sem yv.
3)
Desvio padrão com 1 ou 2 algarismos significativos
A Tabela abaixo mostra os erros relativos e acertos percentuais em cada caso:
|
Prim.
Alg.
|
Inic.
Interv.
|
Fim
Interv.
|
Difer.
|
Erro
Rel.
|
Acert
%
|
|
1
|
0,95
|
1,5
|
0,5
|
0,50
|
50,00
|
|
2
|
1,5
|
2,5
|
0,5
|
0,25
|
75,00
|
|
3
|
2,5
|
3,5
|
0,5
|
0,17
|
83,33
|
|
4
|
3,5
|
4,5
|
0,5
|
0,13
|
87,50
|
|
5
|
4,5
|
5,5
|
0,5
|
0,10
|
90,00
|
|
6
|
5,5
|
6,5
|
0,5
|
0,08
|
91,67
|
|
7
|
6,5
|
7,5
|
0,5
|
0,07
|
92,86
|
|
8
|
7,5
|
8,5
|
0,5
|
0,06
|
93,75
|
|
9
|
8,5
|
9,5
|
0,5
|
0,06
|
94,44
|
|
10
|
9,5
|
10,5
|
0,5
|
0,05
|
95,00
|
|
11
|
10,5
|
11,5
|
0,5
|
0,05
|
95,45
|
|
12
|
11,5
|
12,5
|
0,5
|
0,04
|
95,83
|
|
13
|
12,5
|
13,5
|
0,5
|
0,04
|
96,15
|
|
14
|
13,5
|
14,5
|
0,5
|
0,04
|
96,43
|
|
15
|
14,5
|
15,5
|
0,5
|
0,03
|
96,67
|
|
16
|
15,5
|
16,5
|
0,5
|
0,03
|
96,88
|
|
17
|
16,5
|
17,5
|
0,5
|
0,03
|
97,06
|
|
18
|
17,5
|
18,5
|
0,5
|
0,03
|
97,22
|
|
19
|
18,5
|
19,5
|
0,5
|
0,03
|
97,37
|
|
20
|
19,5
|
20,5
|
0,5
|
0,03
|
97,50
|
|
21
|
20,5
|
21,5
|
0,5
|
0,02
|
97,62
|
|
22
|
21,5
|
22,5
|
0,5
|
0,02
|
97,73
|
|
....
|
....
|
....
|
....
|
....
|
....
|
4)
Algarismos significativos
/ incertezas
Serão discutidos na terceira etapa do nosso curso, depois de estudar
probabilidades.
5)
Histograma
O Histograma é um gráfico que apresenta a quantidade (relativa)
de ocorrência para cada faixa de valores de y.
Procura-se (sempre que possível) faixas de largura que possibilitem
quantidades acima de 10 nas faixas próximas da média.
|
Bloco
|
Freqüência
|
Normalizada
|
|
71
|
1
|
0,025
|
|
72
|
2
|
0,050
|
|
73
|
8
|
0,200
|
|
74
|
14
|
0,350
|
|
75
|
10
|
0,250
|
|
76
|
3
|
0,075
|
|
77
|
2
|
0,050
|
|
Mais
|
0
|
0,000
|
Como os valores
de N(y) dependem de Dy,
é interessante plotar as quantidades relativas no eixo vertical, usando os
valores de
N(y)/(N.Dy)
e não os valores de N(y), onde:
N(y)
= número de ocorrências na faixa de valores de y
N = número total de ocorrências
Dy
= largura da faixa nos valores de y
Com
os gráficos assim plotados, os valores no eixo vertical terão amplitudes da
mesma ordem de grandeza, independentemente de Dy.
Também,
a soma das áreas das colunas sempre resultará em 1 (100%).