Algarismos Significativos

Por
Milton Procópio de Borba

Um exemplo: 

Um certo deslocamento y (em cm) foi medido 40 vezes: 

72,55	73,27	73,17	73,07	74,57	71,07	72,88	73,19	73,24	72,94
72,60	73,94	73,85	75,01	73,53	71,98	74,70	75,59	76,22	74,14
74,40	73,35	75,11	74,01	73,41	76,30	73,65	73,54	73,62	70,58
74,75	72,65	72,29	72,15	73,81	74,47	72,44	74,99	74,11	74,30

A média calculada é de Y = 73,64 cm, com um desvio padrão de s = 1,23 cm.

As probabilidades destes 4 algarismos serem corretos são:

1º algarismo	5	6	7	8		2º algarismo	0	1	2	3	4	5	6	7
%	0	0,15	99,85	0		%	1,4	7,4	21	31	25	11	2,4	0,3

As probabilidades dos últimos algarismos foram calculadas em relação à média. 

3º algarismo					4º algarismo
y	d	P	% dif		y	d	P	% dif
73,0	0,64	0,283	0,00		73,60	0,04	0,32417	0,03
73,1	0,54	0,295	3,98		73,61	0,03	0,32425	0,05
73,2	0,44	0,304	7,40		73,62	0,02	0,32430	0,07
73,3	0,34	0,312	10,20		73,63	0,01	0,32433	0,08
73,4	0,24	0,318	12,34		73,64	0	0,32434	0,08
73,5	0,14	0,322	13,76		73,65	0,01	0,32433	0,08
73,6	0,04	0,324	14,44		73,66	0,02	0,32430	0,07
73,7	0,06	0,324	14,36		73,67	0,03	0,32425	0,05
73,8	0,16	0,322	13,53		73,68	0,04	0,32417	0,03
73,9	0,26	0,317	11,97		73,69	0,05	0,32407	0,00

Observa-se que o 3º algarismo tem maior probabilidade de ser 5, 6 ou 7.

Estas probabilidades são @ 14 % maiores que a do algarismo 0, por exemplo. 

Mas o 4º algarismo tem praticamente a mesma probabilidade de ser qualquer um. 

Isto o torna não significativo 

 Obs.:   Costumamos representar o desvio padrão com 1 algarismo significativo,

exceto quando o 1º for 1 ou 2 (nestes casos usamos 2 algarismos significativos).

 

Como os algarismos das centenas não são significativos, podemos representar:

 y = (73,6  ± 1,2 ) cm, significando que:  (73,6 - 1,2) cm  <  y  <  (73,6  + 1,2) cm.  

 

Mais geralmente, podemos afirmar que 

Considerações sobre o Exemplo apresentado

1)      Cálculo do desvio padrão  
2)      Desvio padrão com 1 ou 2 algarismos significativos  
3)      Distribuições de probabilidades  
4)      Incertezas  
5)      Histogramas  

1)      Cálculo do desvio padrão  
Com

y_v = valor verdadeiro (sempre desconhecido)

Yi = medidas feitas, com i = 1,2,3, ... , n ( Y_i igualmente prováveis )

Definimos o Desvio Padrão por :

que é praticamente:

     .

Esta troca de y_v por Y se faz por:   

(Y_i – y_v )² = [(Y_i – Y) + (Y – y_v )]²  = (Y_i – Y)² + 2(Y_i – Y) (Y – y_v ) + (Y – y_v )² .  

Assim, s² = (1/n) S (Y_i – Y)² + (Y – y_v )² » (1/n) S (Y_i – Y)² + s_m² ,

Onde  s_m é o desvio padrão de várias médias, que é bem menor e é dado por  s_m² = s² /n  

Agora, de  , s² = (1/n) S (Y_i – Y)² + s²/n , sai a expressão para s sem y_v.

   2)   Desvio padrão com 1 ou 2 algarismos significativos

      A Tabela abaixo mostra os erros relativos e acertos percentuais em cada caso:  

     3)  Distribuições de probabilidades  

      1. Distribuição Binomial:

Se a probabilidade de um evento ocorrer = p 

então a probabilidade deste evento não ocorrer = 1- p   

Se considerarmos n ocorrências semelhantes ou repetidas, então a probabilidade de acontecer  y eventos é p^y e a probabilidade de não acontecer os demais  (n-y) eventos é (1- p)^n-y.

Assim, a probabilidade de acontecer exatamente y eventos é p^y.(1-p)^n-y, nesta ordem.

      Considerando as possíveis trocas de ordem, teremos o seguinte número de possibilidades:

Resumindo,

com as seguintes propriedades:

P_n é NORMALIZADA, isto é, sua soma vale

A média ponderada (média dos  y com probabilidades diferentes) de ocorrências é:

O desvio padrão (média ponderada dos desvios) é de

Estes três resultados saem da fórmula do Binômio de Newton:

2. Distribuição de Poisson ( só depende da média Y):

Nos casos de n grande com pequenas probabilidades,

Com Y = np, obtemos

com a propriedade:     

3. Distribuição Normal - Gaussiana (valores contínuos de y) :

 Usando a aproximação de Stirling:

obtemos uma fórmula aproximada, sem o uso do fatorial: 

 Com  s = , podemos escrever

(Ver: Distribuição do Erro)

Propriedades da Distribuição Gaussiana:

·  Probabilidade máxima Þ P(y = Y) = P_máx  

·  Largura a meia altura: 2G Þ P(y = Y +  G ) = (1/2) P_máx Þ Largura  = 2G  

· Altura onde ocorre a largura 2s : h Þ P(y = Y +  s ) = h Þ Altura  = h 

h = e^-1/2. P_máx » 0,6065 P_máx

      4)    Incertezas  

       A Probabilidade total de y com a < y < b pode ser calculada por:

Usando a Distribuição de Gauss, com   a  = Y - s    e    b = Y + s,  se obtém que 
a Probabilidade de que   | y – Y | <  s   é de  

 » 0,6827 (68,27%)

A Probabilidade de que   | y – Y | <  3s   é de  

 » 0,9973 (99,73%)  

Com a mudança de variável    x = ( y – Y ) / s ,  a integral

que dá a probabilidade de que     | y – Y | <  ss  , fica assim:  

e pode ser tabelada.  

Foram convencionados os seguintes níveis de erro/incerteza:  

Incerteza	Símbolo	Intervalo	Confiança
Erro padrão	s	Y - s  <  y  <  Y + s	68,27%
Erro provável	D = 0,6745 s	Y - D  <  y  <  Y + D	50%
	2 s	Y - 2s  <  y  <  Y + 2s	95,4%
Erro limite estatístico	3 s	Y - 3s  <  y  <  Y + 3s	99,73%
Erro limite	L	Y - L  <  y  <  Y + L	100%

5)  Histograma

O Histograma é um gráfico que apresenta a quantidade (relativa) de ocorrência para cada faixa de valores de y.  

Procura-se (sempre que possível) faixas de largura que possibilitem quantidades acima de 10 nas faixas próximas da média.  

Para compararmos o Histograma (variáveis discreta) com o gráfico das funções de distribuições de Poisson (variáveis discreta) e de Gauss (variáveis contínuas), é interessante plotar as quantidades relativas no eixo vertical, usando os valores de 

N(y)/(N.Dy) e não os valores de N(y), onde:  

N(y) = número de ocorrências na faixa de valores de y

N = número total de ocorrências

Dy = largura da faixa nos valores de y

Com os gráficos assim plotados, os valores no eixo vertical terão amplitudes da mesma ordem de grandeza, independentemente de Dy.  

Também, a soma das áreas das colunas sempre resultará em 1 (100%), como a integral total nas distribuições de probabilidades de Gauss.